[论文解读] On computational issues for stability analysis of LPV systems using parameter dependent Lyapunov functions and LMIs

Leonardo Amaral Mozelli, Ricardo Adriano|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 15被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种计算高效的线性参数变化（LPV）系统稳定性分析方法，采用参数依赖型李雅普诺夫函数（PDLF）与线性矩阵不等式（LMIs）。通过将参数时变导数约束的表示方式从完整的多面体表示法改为单纯形表示法，该方法将计算复杂度从随顶点数呈指数增长降低为线性增长，从而使得原本在标准PDLF方法下因计算负担过重而无法求解的高维系统也能获得可行解。

ABSTRACT

This paper deals with the robust stability analysis of linear systems, subject to time-varying parameters. The Parameter Dependent Lyapunov Function are considered, assuming that the temporal derivative of the parameters are bounded. Some computational issues are discussed, which are present in Linear Matrix Inequality (LMI) based approaches and are exacerbated as the quantity of time-varying parameters increases. A possible solution to deal with issues is proposed by modifying the inclusion of the information regarding the time-derivative bounds. Complexity in the number of LMIs constraints can be reduced from very complex to linear. Numerical examples are provide to illustrate the advantages of the proposed methodology.

研究动机与目标

• 解决具有大量时变参数的LPV系统中基于PDLF的LMI条件所面临的计算不可行性问题。
• 克服在稳定性分析中引入参数导数界时LMIs数量呈指数增长的问题。
• 提出一种可扩展的PDLF替代方法，在保持合理保守性的同时显著提升计算可行性。
• 使原本因计算负担过重而无法求解的高阶或大规模LPV系统能够实现稳定性分析。
• 在时变线性系统的鲁棒稳定性分析中，实现保守性与计算效率之间的平衡。

提出的方法

• 用基于单纯形的矩阵 $\bar{H}$ 替代标准的参数导数约束多面体表示 $H$，该方法保留相同的物理边界，但具有更简单的几何结构。
• 采用参数导数的凸组合，并将其约束在单纯形上，确保绝对导数之和不超过 $\delta$。
• 通过将原始 $H$ 矩阵替换为 $\bar{H}$，修改现有的基于PDLF的LMI稳定性定理，从而在保持稳定性证明的同时降低复杂度。
• 将新约束集表述为 $\bar{H}\dot{\theta} \leq \delta \mathbf{1}$，其中 $\bar{H}$ 为 $r \times r$ 维矩阵，其来源于标准单纯形结构。
• 确保新约束集包含原始 $H$ 基约束集，从而在维持或略微增加保守性的同时，实现可扩展计算。
• 将重构后的LMI条件应用于数值算例，并与标准PDLF方法及二次李雅普诺夫函数方法在可行性与计算时间方面进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于PDLF的LMI稳定性分析的计算复杂度如何随时间变参数数量的变化而变化？
• RQ2 对时间导数约束进行几何重构是否能减少LMIs数量，同时不显著增加保守性？
• RQ3 在高维LPV系统中，基于PDLF的稳定性分析中，计算效率与保守性之间的权衡如何？
• RQ4 所提方法是否能实现原本因标准PDLF方法失效而无法分析的大顶点数系统（如 $r=16$）的稳定性分析？
• RQ5 在可行性与计算时间方面，所提方法相较于二次李雅普诺夫函数方法和标准PDLF方法的性能如何？

主要发现

• 所提方法将LMIs约束数量从随 $r$ 呈指数增长降低为线性增长，使原本不可行的计算负担变为可计算。
• 对于 $r=16$ 且 $n=8$ 的系统，基于 $H$ 的标准PDLF方法因计算无法完成而失败，而所提 $\bar{H}$ 方法在平均19秒内找到了可行解。
• 在所有测试配置中（最多 $r=8$，$n=10$），所提方法的可行性比率为100%，与标准PDLF方法性能相当，且优于二次李雅普诺夫函数方法。
• 与基于 $H$ 的标准PDLF方法相比，所提方法的平均计算时间减少了高达18倍，同时与二次李雅普诺夫函数方法的计算时间保持相当。
• 该方法在保守性与计算性能之间保持了有利的平衡，使得大规模或高维LPV系统的稳定性分析成为可能。
• 采用基于单纯形的 $\bar{H}$ 矩阵的几何重构，确保新约束集包含原始 $H$ 基约束集，从而在提升可扩展性的同时保持稳定性保证。