[论文解读] On computing tree and path decompositions with metric constraints on the bags

Guillaume Ducoffe, Sylvain Legay+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 38被引用 3

一句话总结

本文確立了計算樹寬度、路徑長度、路徑寬度以及 k-優良樹分解——關鍵度量圖不變量——的 NP-困難性，解決了文獻中的開放問題。此外，本文針對平面圖與二分圖這類特殊情況，提供了多項式時間演算法以辨識樹寬度為一的圖形，並利用此類圖形的結構性質及其與 k-優良分解的關係。

ABSTRACT

We here investigate on the complexity of computing the \emph{tree-length} and the \emph{tree-breadth} of any graph $G$, that are respectively the best possible upper-bounds on the diameter and the radius of the bags in a tree decomposition of $G$. \emph{Path-length} and \emph{path-breadth} are similarly defined and studied for path decompositions. So far, it was already known that tree-length is NP-hard to compute. We here prove it is also the case for tree-breadth, path-length and path-breadth. Furthermore, we provide a more detailed analysis on the complexity of computing the tree-breadth. In particular, we show that graphs with tree-breadth one are in some sense the hardest instances for the problem of computing the tree-breadth. We give new properties of graphs with tree-breadth one. Then we use these properties in order to recognize in polynomial-time all graphs with tree-breadth one that are planar or bipartite graphs. On the way, we relate tree-breadth with the notion of \emph{$k$-good} tree decompositions (for $k=1$), that have been introduced in former work for routing. As a byproduct of the above relation, we prove that deciding on the existence of a $k$-good tree decomposition is NP-complete (even if $k=1$). All this answers open questions from the literature.

研究动机与目标

• 解決計算樹寬度、路徑長度、路徑寬度以及 k-優良樹分解之複雜度狀態的開放問題。
• 識別樹寬度為一辨識的可解決圖形類別，特別是平面圖與二分圖。
• 釐清 k-優良樹分解與樹寬度之間的關係，解決其計算複雜度的開放問題。
• 探討度量圖不變量在可解決與不可解決實例之間的邊界。

提出的方法

• 從已知的 NP-困難問題進行規約，以證明樹寬度、路徑長度、路徑寬度以及 k-優良樹分解的 NP-困難性。
• 識別並特徵化樹寬度為一圖形的結構性質，特別著重於葉節點類型與團分離器。
• 設計遞迴演算法以辨識平面圖與二分圖中的樹寬度為一圖形，使用節點收縮與邊加入操作。
• 透過圖形大小的數學歸納法證明，追蹤不變量 5n - m 以顯示規約的正確性與終止性。
• 建立 k-優良樹分解（k=1 時）與樹寬度之間的正式連結，進而實現複雜度的轉移。
• 使用零組件建構與圖形轉換，於規約過程中保持度量約束。

实验结果

研究问题

• RQ1 計算圖形的樹寬度是否為 NP-困難？
• RQ2 對於特定圖形類別（如平面圖或二分圖）而言，是否可於多項式時間內辨識樹寬度為一的圖形？
• RQ3 對於 k=1 時，判斷是否存在 k-優良樹分解的計算複雜度為何？
• RQ4 路徑長度與路徑寬度與將圖形最小扭曲嵌入路徑的複雜度有何關係？
• RQ5 是否存在針對 clique-number、genus、tree-width 或 Hadwiger 數參數化的度量圖不變量之固定參數可解決演算法？

主要发现

• 計算樹寬度為 NP-困難，解決了度量圖理論中的一項開放問題。
• 路徑長度與路徑寬度的計算亦為 NP-困難，延伸了已知的樹長度 NP-困難性。
• 判斷 k-優良樹分解是否存在之問題為 NP-完全，即使在 k=1 時亦然。
• 樹寬度為一的圖形是計算樹寬度中最複雜的案例，且其具有特定的結構性質，可支援有效辨識。
• 針對平面圖與二分圖類別，存在多項式時間辨識演算法以辨識樹寬度為一的圖形。
• NP-困難性結果表示，這些度量不變量無法在常數因子以下被近似，與現有的常數因子近似演算法之間仍存在差距。