[论文解读] On Condensation of Block Sensitivity, Certificate Complexity and the $\mathsf{AND}$ (and $\mathsf{OR}$) Decision Tree Complexity

Sai Soumya Nalli, Karthikeya Polisetty+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2026

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 0

一句话总结

本论文在变量限制下给出块敏感性、证书复杂度以及 AND/OR 决策树复杂度的不可缩减性结果，并建立了对 Fourier 稀疏性的弱压缩。它构建 Rubinstein 风格的函数以展示无损压缩的极限并分析相关度量。

ABSTRACT

Given an $n$-bit Boolean function with a complexity measure (such as block sensitivity, query complexity, etc.) $M(f) = k$, the hardness condensation question asks whether $f$ can be restricted to $O(k)$ variables such that the complexity measure is $Ω(k)$? In this work, we study the condensability of block sensitivity, certificate complexity, AND (and OR) query complexity and Fourier sparsity. We show that block sensitivity does not condense under restrictions, unlike sensitivity: there exists a Boolean function $f$ with query complexity $k$ such that any restriction of $f$ to $O(k)$ variables has block sensitivity $O(k^{\frac{2}{3}})$. This answers an open question in Göös, Newman, Riazanov, and Sokolov (2024) in the negative. The same function yields an analogous incondensable result for certificate complexity. We further show that $\mathsf{AND}$(and $\mathsf{OR}$) decision trees are also incondensable.

研究动机与目标

• 研究在原始度量为 k 时，当变量受限为 O(k) 时，关键布尔函数的复杂度度量是否会可压缩。
• 使用 Rubinstein 风格的构造，给出块敏感性和证书复杂度的不可缩减性结果。
• 证明 AND/OR 决策树复杂度的不可缩减性以及 Fourier 稀疏性的弱压缩结果。

提出的方法

• 在 k^4 个变量上构造 Modified Rubinstein 函数，作为 k^2 个基函数在 k^2 个变量上的 OR。
• 分析 f 的 s(f,x)、bs(f,x) 和 C(f,x)，在受限条件下对它们的取值进行界定并推导可压缩度的上界。
• 将 AND/OR 决策树复杂度与 0-决策树深度 D0(f) 联系起来，并使用对抗策略证明不可缩减性。
• 应用集合系统同构技术，通过限制到 O(k^2) 个变量获得对 Fourier 稀疏性的弱压缩结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在限制为 O(k) 个变量时，块敏感性和证书复杂度是否仍可压缩并保持 Omega(k) 的复杂度？
• RQ2 在变量限制下，AND/OR 决策树复杂度是否不可缩减？
• RQ3 在限制条件下，Fourier 稀疏性是否存在任何形式的压缩？

主要发现

• 存在一个在 k^4 个变量上的函数，其块敏感性为 k^3，使得对任意限制到 O(k^3) 变量时 bs 至多为 O(k^2)。
• 同样的构造在可比的限制下也给出证书复杂度的不可缩减性结果。
• 存在一个布尔函数，其 AND 量级复杂度 D∧ = k（且 D∨ = k），使得任意限制到 k 个变量时 D∧ ≤ ~O(k^{3/4})（OR 也同样）。
• Fourier 稀疏性存在弱形式的压缩：存在对 O(k^2) 变量的限制仍保持稀疏性为 k。