[论文解读] On conformable fractional calulus

Thabet Abdeljawad|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2014

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 2被引用 11

一句话总结

本文提出并发展了一种基于简化极限定义的新型、行为良好的可 conformable 分数阶微积分。它建立了基本工具——如链式法则、分部积分、分数阶泰勒级数、拉普拉斯变换以及格朗沃尔不等式——并表明当 α→1 时，这些工具退化为经典结果，且证明了即使在经典微积分中无法进行标准泰勒展开的函数，也可通过该框架实现展开。

ABSTRACT

Recently, the authors Khalil, R., Al Horani, M., Yousef. A. and Sababheh, M., in " A new Denition Of Fractional Derivative, J. Comput. Appl. Math. 264. pp. 6570, 2014. " introduced a new simple well-behaved definition of the fractional derivative called conformable fractional derivative. In this article we proceed on to develop the definitions there and set the basic concepts in this new simple interesting fractional calculus. The fractional versions of chain rule, exponential functions, Gronwall's inequality, integration by parts, Taylor power series expansions, Laplace transforms and linear differential systems are proposed and discussed.

研究动机与目标

• 将 Khalil 等人（2014）提出的可 conformable 分数阶导数形式化并扩展为一个全面的微积分框架。
• 通过引入更简单、更直观的导数定义，解决经典分数阶微积分中的局限性，如复杂的乘积法则和链式法则。
• 使在经典微积分中缺乏标准泰勒表示的函数能够实现泰勒级数展开和拉普拉斯变换。
• 利用可 conformable 框架建立关键分析工具的分数阶类比——包括分部积分、格朗沃尔不等式以及线性系统，并确保其一致性。
• 证明当 α→1 时，可 conformable 微积分退化为经典微积分，从而确保与现有理论的一致性。

提出的方法

• 通过涉及 (t−a)^(1−α) 和 (b−t)^(1−α) 的极限公式，定义 α∈(0,1] 阶的左、右可 conformable 分数阶导数，推广经典导数。
• 通过连续应用基本导数，将定义扩展至高阶导数（α>1），其中当 α∈(n,n+1] 时，β=α−n。
• 分别引入左、右可 conformable 分数阶积分为加权积分，其核分别为 (x−a)^(α−1) 和 (b−x)^(α−1)。
• 推导出分数阶链式法则和分部积分公式，表明当 α→1 时，其退化为经典形式。
• 提出一种基于基函数 (t−a)^(kα)/α^k k! 的分数阶泰勒级数展开，使非解析函数也能实现级数表示。
• 通过变量替换 u=(t−a)^α/α 定义分数阶拉普拉斯变换，将其与变换后函数的经典拉普拉斯变换联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义一种更简单、更直观的分数阶导数，使其保持经典微积分中乘积法则和链式法则等性质？
• RQ2 在可 conformable 微积分框架下，能否通过分数阶幂级数表示那些在经典微积分中缺乏标准泰勒展开的函数？
• RQ3 是否存在经典工具（如分部积分、格朗沃尔不等式、拉普拉斯变换）的分数阶类比，且在 α→1 时退化为经典形式？
• RQ4 可 conformable 分数阶微积分是否能比经典分数阶微积分更有效地求解线性微分方程，特别是在无法使用梅特格-莱夫勒函数时？
• RQ5 是否可能将可 conformable 微积分推广至高阶或多重阶系统，同时保持一致性和计算可处理性？

主要发现

• 常数函数的可 conformable 分数阶导数为零，与黎曼-刘维尔微积分不同，更符合经典直觉。
• 推导出分数阶链式法则和分部积分公式，并证明当 α→1 时，其退化为经典形式，确保一致性。
• 缺乏标准泰勒级数的函数（例如在某点非解析的函数）可通过使用基函数 e^{λ(t−a)^α/α} 的分数阶泰勒级数表示，其收敛性通过幂级数展开得以确立。
• 定义了分数阶拉普拉斯变换，并证明其映射为变换后函数的经典拉普拉斯变换，从而可求解可 conformable 分数阶常微分方程。
• 可 conformable 分数阶初值问题 (T_α^a y)(t) = λy(t)，y(a)=y₀ 的解为 y(t) = y₀ e^{λ(t−a)^α/α}，与分数阶指数函数一致。
• 对于线性系统，方程 T_α^a y = Ay + f(t) 的解可表示为矩阵指数 e^{A(t−a)^α/α}，非齐次项以卷积积分形式表示。