[论文解读] On conformal maps from multiply connected domains onto lemniscatic domains

Olivier Sète, Jörg Liesen|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2015

Analytic and geometric function theory参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文提出了一种从多连通区域到双纽线区域的共形映射的一般构造原理——将黎曼映射定理推广至多连通集合。通过利用单连通预像的黎曼映射，并结合布吕歇尔乘积与莫比乌斯变换，作者显式构造了径向裂口区域和双圆盘区域的双纽线映射，提供了此类映射的首批解析例子，并支持法伯–沃尔什多项式的定义。

ABSTRACT

We study conformal maps from multiply connected domains in the extended complex plane onto lemniscatic domains. Walsh proved the existence of such maps in 1956 and thus obtained a direct generalization of the Riemann mapping theorem to multiply connected domains. For polynomial pre-images of simply connected sets we derive a construction principle for Walsh's conformal map in terms of the Riemann map for the simply connected set. Moreover, we explicitly construct examples of Walsh's conformal map for certain radial slit domains and circular domains.

研究动机与目标

• 将黎曼映射定理推广至多连通区域，以双纽线区域作为典范形式。
• 为计算映射到双纽线区域的共形映射提供一种构造性方法，此前此类映射仅被证明存在。
• 推导径向裂口区域和圆域等特定区域的双纽线映射的显式例子，填补文献中的空白。
• 使具有多个连通分支的紧集的法伯–沃尔什多项式得以构造，扩展了经典多项式逼近理论。
• 通过双纽线映射支持对数容量和格林函数的数值计算。

提出的方法

• 该构造方法利用单连通预像集的黎曼映射，并与莫比乌斯变换和布吕歇尔乘积复合，以映射到双纽线区域。
• 对于径向裂口区域，该方法先应用从裂口外部到圆盘外部的共形映射，再通过类似乔科夫斯基的映射将结果变换为双纽线形式。
• 对于两个等大圆盘，该方法使用莫比乌斯变换将圆盘外部映射为具有对称裂口的区域，然后应用有理函数以达到双纽线形式。
• 通过缩放和对称性施加归一化条件 Φ(∞) = ∞ 和 Φ′(∞) = 1，确保在无穷远处的洛朗级数展开无常数项。
• 双纽线区域定义为 {w : |U(w)| > μ}，其中 U(w) = ∏(w − aj)^mj 且 ∑mj = 1，μ > 0 的取值使得其补集的对数容量为 μ。
• 该方法通过将共形映射到环形区域与有理函数复合，推广至任意双连通区域，从而获得具有相同归一化的双纽线映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种构造性方法，用于从多连通区域到双纽线区域的共形映射，而不仅限于存在性证明？
• RQ2 如何为径向裂口区域和圆域等特定区域显式构造双纽线映射？
• RQ3 双纽线映射能否用于计算紧集补集的对数容量和格林函数？
• RQ4 对称性和归一化在确保双纽线映射满足 Φ(∞) = ∞ 和 Φ′(∞) = 1 中起什么作用？
• RQ5 如何通过已知的映射到环形区域的共形映射，将双纽线映射推广至任意双连通区域？

主要发现

• 本文首次显式构造了 n 个径向裂口外部的双纽线共形映射，其通过黎曼映射与布吕歇尔乘积的复合得到。
• 为两个等大圆盘外部构造了显式双纽线映射，所得双纽线区域由 |U(w)| > μ 定义，其中 U(w) 是具有两个极点的有理函数。
• 所构造的映射满足归一化条件 Φ(∞) = ∞ 和 Φ′(∞) = 1，确保在无穷远处的洛朗级数展开无常数项。
• 紧集 E = C ∓ K 的对数容量为 μ，即双纽线区域定义中的参数，从而可直接计算容量。
• 区域 K 的格林函数显式表示为 gK(w) = log|U(w)| − log μ，可直接从双纽线映射获得。
• 该方法通过将共形映射到环形区域与有理函数复合，推广至任意双连通区域，得到具有相同归一化的双纽线映射。