[论文解读] On Conformal Qc Geometry, Spherical Qc Manifolds and Convex Cocompact Subgroups of ${ m Sp}{(n+1,1)}$

Yun Shi, Wei Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文在四元数接触（qc）流形上引入了qc Yamabe算子，建立了其共形不变性，并将标量曲率的符号与qc Yamabe不变量联系起来。它在标量正的球面对称qc流形上构造了一个共形不变张量，并证明了Sp(n+1,1)的凸共形紧致子群会产生标量曲率符号由Poincaré临界指数决定的球面对称qc流形：当指数小于2n+2时为正，大于时为负，等于时为零。

ABSTRACT

Conformal qc geometry of spherical qc manifolds are investigated. We construct the qc Yamabe operators on qc manifolds, which are covariant under the conformal qc transformations. A qc manifold is scalar positive, negative or vanishing if and only if its qc Yamabe invariant is positive, negative or zero, respectively. On a scalar positive spherical qc manifold, we can construct the Green function of the qc Yamabe operator, which can be applied to construct a conformally invariant tensor. It becomes a spherical qc metric if the qc positive mass conjecture is true. Conformal qc geometry of spherical qc manifolds can be applied to study convex cocompact subgroups of ${ m Sp}(n+1,1).$ On a spherical qc manifold constructed from such a discrete subgroup, we construct a spherical qc metric of Nayatani type. As a corollary, we prove that such a spherical qc manifold is scalar positive, negative or vanishing if and only if the Poincaré critical exponent of the discrete subgroup is less than, greater than or equal to $2n+2$, respectively.

研究动机与目标

• 发展球面对称qc流形的共形qc几何，拓展局部共形平坦与球面对称CR几何的思想。
• 在qc流形上定义并研究qc Yamabe算子及其格林函数，确保其共形协变性。
• 利用格林函数在标量正的球面对称qc流形上构造一个共形不变张量。
• 将由Sp(n+1,1)的凸共形紧致子群生成的球面对称qc流形的标量曲率符号与该群的Poincaré临界指数联系起来。
• 证明此类流形的标量曲率为正、负或零，当且仅当Poincaré指数δ(Γ)小于、大于或等于2n+2。

提出的方法

• 通过Biquard联络和Carnot-Carathéodory度量，在qc流形上构造qc Yamabe算子作为共形协变微分算子。
• 在标量正的球面对称qc流形上定义qc Yamabe算子的格林函数，利用四元数Heisenberg群作为模型空间。
• 通过与测试函数的积分，利用格林函数构造一个共形不变张量，若正质量猜想成立，则该张量成为球面对称qc度量。
• 应用Patterson-Sullivan测度与极限集动力学，分析Sp(n+1,1)凸共形紧致子群的渐近行为。
• 通过与Poincaré指数δ(Γ)相关的非负定矩阵A(ξ)的迹，推导出所得qc度量的标量曲率。
• 建立关键关系：标量曲率的符号取决于δ(Γ) < 2n+2、δ(Γ) > 2n+2或δ(Γ) = 2n+2，通过矩阵A(ξ)及其迹的谱分析得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在qc流形上定义一个共形不变的qc Yamabe算子，其在共形qc变换下的变换性质是什么？
• RQ2 在球面对称qc流形上，qc Yamabe算子的格林函数在何种条件下存在，如何用于构造共形不变张量？
• RQ3 由Sp(n+1,1)的凸共形紧致子群生成的球面对称qc流形的标量曲率符号与该群的Poincaré临界指数之间有何关系？
• RQ4 qc正质量猜想能否用于将该不变张量提升为球面对称qc度量？
• RQ5 Poincaré指数δ(Γ)的精确条件是什么，以决定由该流形生成的球面对称qc流形的标量曲率为正、负或零？

主要发现

• qc Yamabe算子具有共形协变性，其标量曲率符号由qc Yamabe不变量决定：当且仅当该不变量为正、负或零时，标量曲率为正、负或零。
• 在标量正的球面对称qc流形上，qc Yamabe算子的格林函数存在，并可用于构造共形不变张量。
• 若qc正质量猜想成立，则该不变张量成为球面对称qc度量。
• 对于由Sp(n+1,1)的凸共形紧致子群Γ生成的球面对称qc流形，其标量曲率为正、负或零，当且仅当Poincaré临界指数δ(Γ)小于、大于或等于2n+2。
• 与Patterson-Sullivan测度相关的矩阵A(ξ)的迹在非空不连续集Ω(Γ)上处处非零，除非δ(Γ) = 2n+2且极限集为单点。
• 此类流形上Nayatani型度量的标量曲率为s_{g,ℚ} = 8(n+2)(n+1 - δ/2) e^{-2f} TrA(ξ)，其符号取决于δ(Γ)相对于2n+2的大小。