[论文解读] On Conformally Kaehler, Einstein Manifolds

Xiuxiong Chen, Claude LeBrun+1 more|ArXiv.org|May 7, 2007

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 26

一句话总结

本文证明了通过在 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2$ 上两点进行 blows up 所得到的复曲面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$，存在一个与凯勒度量共形的正爱因斯坦度量。证明通过在对称凯勒类中构造极值凯勒度量，并将其按其标量曲率的平方倒数进行缩放，从而得到一个爱因斯坦度量，完成了对 admits Hermitian 爱因斯坦度量的紧致复曲面的分类。

ABSTRACT

We prove that any compact complex surface with positive first Chern class admits an Einstein metric which is conformally related to a Kaehler metric. The key new ingredient is the existence of such a metric on the blow-up of the complex projective plane at two distinct points.

研究动机与目标

• 证明复曲面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ 上存在具有正里奇曲率的 Hermitian 爱因斯坦度量。
• 解决紧致复曲面中 admits Hermitian 爱因斯坦度量的分类中缺失的情形。
• 证明此类度量可通过正标量曲率的极值凯勒度量的共形重标度得到。
• 在复结构或辛结构下，完成对光滑 4-流形 admits 正爱因斯坦度量的特征刻画。

提出的方法

• 利用紧致复曲面上任何 Hermitian 爱因斯坦度量必须与凯勒度量共形（除非其本身是凯勒度量）的事实。
• 通过基于极值度量弱紧致性的变形论证，在 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ 上构造对称凯勒类中的极值凯勒度量。
• 应用 Arezzo、Pacard 和 Singer 的结果，在形如 $F_1 + F_2 - \epsilon E$ 的凯勒类中构造极值凯勒度量，其中 $\epsilon > 0$ 很小，$F_1, F_2$ 为纤维类，$E$ 为例外除子。
• 使用归一化 $h = s^{-2}g$ 将极值凯勒度量 $g$ 转换为爱因斯坦度量 $h$，其中 $s$ 是 $g$ 的标量曲率。
• 利用 Chen 和 Weber 的弱紧致性结果，控制在几何退化下极值度量序列的收敛性。
• 依赖于环状对称性及凯勒锥的结构，以确保对 Sobolev 常数的控制，并避免极限中出现爆破现象。

实验结果

研究问题

• RQ1 复曲面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ 是否存在具有正里奇曲率的 Hermitian 爱因斯坦度量？
• RQ2 能否在 $c_1 > 0$ 的非凯勒-爱因斯坦 Fano 曲面上构造出共形凯勒的爱因斯坦度量？
• RQ3 在 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ 上此类度量的存在性是否足以完成对 admits Hermitian 爱因斯坦度量的紧致复曲面的分类？
• RQ4 极值凯勒度量在复曲面上共形凯勒爱因斯坦度量的构造中起什么作用？
• RQ5 是否存在非平凡的紧致复曲面（$c_1 > 0$） admits 爱因斯坦度量但非凯勒-爱因斯坦度量？

主要发现

• 复曲面 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ 存在具有正里奇曲率的 Hermitian 爱因斯坦度量，证明了定理 A。
• 该度量与一个正标量曲率的极值凯勒度量 $g$ 共形，满足 $h = s^{-2}g$。
• 此类度量的存在性完成了对 admits Hermitian 爱因斯坦度量的紧致复曲面的分类，如推论 1 所述。
• 该结果意味着，若一个光滑 4-流形与 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#k\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$（$0 \leq k \leq 8$）或 $S^2 \times S^2$ 同胚，则其 admits 正爱因斯坦度量，如推论 2 所示。
• 本文证明了第一陈类 $c_1(M)$ 是极值凯勒度量的凯勒类，即使在对称凯勒类 $x=1$ 时也成立，该类位于命题 27 的区间 $(0,L)$ 内。
• 该构造证实了在 $\mathbb{C}\mathbb{P}^2\#2\overline{\mathbb{C}\mathbb{P}}^2$ 的广泛对称凯勒类中存在极值凯勒度量，暗示在对称情形下可能存在完整的存在性结果。