[论文解读] On congruences related to central binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 25被引用 16

一句话总结

本文建立了涉及中心二项式系数的经典级数的p进数类比，这些级数收敛于π的幂次，使用调和数、欧拉数与伯努利数以及费马商。研究证明了截断和在模p²和p³下的同余式，改进了p进数设定下已知的无穷级数恒等式，关键结果将和与欧拉数及虚二次域的类数公式联系起来。

ABSTRACT

It is known that $\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=π/2$ and $\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)=π/3$. In this paper we obtain their p-adic analogues such as $$\sum_{p/23 is a prime and E_0,E_1,E_2,... are Euler numbers. Besides these, we also deduce some other congruences related to central binomial coefficients. In addition, we pose some conjectures one of which states that for any odd prime p we have $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=4x^2-2p (mod p^2)$$ if (p/7)=1 and p=x^2+7y^2 with x,y integers, and $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=0 (mod p^2)$$ if (p/7)=-1, i.e., p=3,5,6 (mod 7).

研究动机与目标

• 建立涉及中心二项式系数的经典无穷级数的p进类比，其值为π、π²或π³的有理倍数。
• 推导形如∑(k=0到p−1) binomial(2k,k)^m / (m^k * (2k+1)^r)（其中m=4,16,64，r=1,2,3）的有限和在模p²和p³下的同余式。
• 通过将素数表示为x²+dy²的形式，将这些p进同余式与L函数的特殊值及虚二次域的类数联系起来。
• 推测这些同余式在更高阶p幂下的更深层次改进，特别是涉及k³和卡塔兰数的和。
• 通过符号计算与组合恒等式，扩展已知关于中心二项式系数的p进赋值与同余式的结论。

提出的方法

• 使用积分表示，如1/(2k+1) = ∫₀¹ x²ᵏ dx，将无穷级数与积分及p进极限联系起来。
• 应用通过Sigma软件推导出的组合恒等式，将涉及binomial(2k,k)的和转化为包含调和数与伯努利/欧拉数的表达式。
• 利用费马商qₚ(a) = (aᵖ⁻¹−1)/p和勒让德符号(a/p)来表达模p²的同余式。
• 利用已知的调和数Hₚ₋₁ ≡ −p²Bₚ₋₃/3 (mod p³)的p进展开式，以改进同余式。
• 使用生成函数与模形式（如cusp form q∏(1−q⁴ⁿ)⁶）来刻画∑ binom(2k,k)³/64ᵏ mod p²的p进行为。
• 基于数值证据和与已知级数的结构类比（特别是涉及卡塔兰数和中心二项式系数的级数），提出猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇素数p，经典级数∑ₖ₌₀^∞ binom(2k,k)/((2k+1)4ᵏ) = π/2能否被改进为模p²的p进同余式？
• RQ2 对于奇素数p > 3，∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)16ᵏ)及其尾部和在模p²下如何表现？
• RQ3 ∑ₖ₌₀^p₋₁ k³ binom(2k,k)³ / 64ᵏ在模p²下的p进行为是什么？其表现如何依赖于p mod 4？
• RQ4 当(p/7)=1时，∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ³ / 64ᵏ能否用类数公式或p表示为x²+7y²的形式来表达？
• RQ5 ∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(2k,k)² / 8ᵏ与∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(2k,k)² / 32ᵏ是否满足涉及x和y的同余式，其中x²+y²=p且x≡1 mod 4？

主要发现

• 对于奇素数p，有∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)4ᵏ) ≡ (−1)^(p+1)/2 qₚ(2) (mod p²)，将和与费马商联系起来。
• 当p > 3时，有∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)16ᵏ) ≡ 0 (mod p²)，且尾部和∑ₚ/₂<k<p ≡ (p/3)Eₚ₋₃ (mod p²)，与欧拉数相关联。
• 对于p > 3，有∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)²4ᵏ) ≡ (−1)^(p+1)/2 qₚ(2)²/2 (mod p)，改进了平方倒数二项式和的p进行为。
• 当p ≡ 1 (mod 4)时，有∑ₖ₌₀^p₋₁ k³ binom(2k,k)³ / 64ᵏ ≡ 0 (mod p²)；当p ≡ 3 (mod 4)时，有≡ −1/640 ((p+1)/4)!)⁻⁴ (mod p)，显示出对p mod 4的深刻依赖。
• 当p ≡ 3 (mod 4)时，有∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(p−1,k) binom(2k,k)³ / (−64)ᵏ ≡ 0 (mod p²)，表明扭曲和中存在抵消现象。
• 当p ≡ 1 (mod 4)时，有∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ² / 16ᵏ ≡ −3 (mod p)，且∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ³ / 64ᵏ ≡ 7 (mod p)，若p ≡ 3 (mod 4)，则需加入涉及((p+1)/4)!)⁻⁴的校正项，与类数相关。