[论文解读] On Congruences with Products of Variables from Short Intervals and Applications

Jean Bourgain, Moubariz Z. Garaev+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文利用加法组合论和特征和估计的高级技术，建立了关于模素数 $p$ 的短区间中变量乘积的同余式解数的新上界。关键贡献是针对 $K_{\nu}(p,h,s)$（即满足 $(x_1+s)\cdots(x_\nu+s) \equiv (y_1+s)\cdots(y_\nu+s) \not\equiv 0 \pmod{p}$ 的解数）给出了非平凡上界，该结果在 $h < p^{1/(\nu^2-1)}$ 条件下成立，优于以往关于指数和、带除数函数的特征和以及双重特征和的结果。

ABSTRACT

We obtain upper bounds on the number of solutions to congruences of the type $$ (x_1+s)...(x_ν+s)\equiv (y_1+s)...(y_ν+s) ot\equiv0 \pmod p $$ modulo a prime $p$ with variables from some short intervals. We give some applications of our results and in particular improve several recent estimates of J. Cilleruelo and M. Z. Garaev on exponential congruences and on cardinalities of products of short intervals, some double character sum estimates of J. B. Friedlander and H. Iwaniec and some results of M.-C. Chang and A. A. Karatsuba on character sums twisted with the divisor function.

研究动机与目标

• 推导模素数 $p$ 下涉及短区间中变量乘积的对称同余式解数的非平凡上界。
• 扩展并改进现有对指数同余式、带除数函数的特征和以及双重特征和的估计。
• 解决解析数论中的开放问题，特别是关于有限域上短区间中乘积分布的问题。
• 基于循环矩阵和特征和技术，建立分析稀疏集中乘法结构的框架。

提出的方法

• 引入同余式 $J_\nu(p,h,s;\lambda)$ 的对称版本，记为 $K_\nu(p,h,s)$，用于计数满足 $\prod (x_i+s) \equiv \prod (y_j+s) \not\equiv 0 \pmod{p}$ 且变量取值于 $[1,h]$ 的解数。
• 提出一种新型循环矩阵 $A(m,n,\sigma)$ 及其块扩展构造，用于分析解的结构，并推导选定标记项的不变和。
• 应用加法组合论和特征和技术，特别是利用指数和的有界性以及狄利克雷特征的乘法性质。
• 采用二分分解并针对短区间中的素数进行平均，以控制特征和估计中的误差项。
• 结合大筛法以及卡拉察巴等人关于特征和抵消的结果，在对区间长度的弱假设下导出非平凡上界。
• 通过假设特征和模长较大，建立矛盾论证，导出某集合 $\mathcal{U}$ 的大小下界，从而与已知的特征和抵消结果产生矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在变量取值于 $[1,h]$ 的条件下，对称同余式 $\prod_{i=1}^\nu (x_i + s) \equiv \prod_{j=1}^\nu (y_j + s) \not\equiv 0 \pmod{p}$ 的最大解数是多少？
• RQ2 能否将此类解数的非平凡上界适用范围的 $h$ 范围，超越以往结果？
• RQ3 对 $K_\nu(p,h,s)$ 的界在多大程度上可用于加强短区间上指数和的估计？
• RQ4 这些界如何影响带除数函数或双重特征和的估计？
• RQ5 该方法能否推广以处理更高阶的乘法函数或更一般的多项式同余式？

主要发现

• 本文建立了 $K_\nu(p,h,s)$（即对称乘积同余式的解数）的非平凡上界，适用于 $h < p^{1/(\nu^2-1)}$，优于早期结果。
• 当 $\nu=4$ 时，该界解决了西勒鲁埃洛与加拉埃关于此类非平凡估计存在的开放问题。
• 该方法改进了短区间中指数同余式的估计，扩展了非平凡估计成立的 $h$ 范围。
• 作者通过在某些稀疏子集内提供更强的抵消效应，改进了弗里德兰德与伊万尼克关于双重特征和的估计。
• 对所有与 $p$ 互素的 $a$，建立了特征和 $S_a(N) = \sum_{n \leq N} \chi(a + n^2)$ 的非平凡上界，适用于 $N \geq p^{1/3 + \varepsilon}$，优于卡拉察巴对 $|a| \leq p^{1/2}$ 的早期结果。
• 该框架被扩展以处理涉及除数函数 $\tau_k(n)$ 的和，改进了可获得非平凡估计的 $a$ 的范围。