[论文解读] On conjugacy in regular epigroups

Ganna Kudryavtseva|ArXiv.org|May 27, 2006

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文通过在可分解的逆等群半群中以 $G$-共轭刻画共轭关系，为正则等群半群——即每个元素的某次幂属于某个子群的半群——建立了全面的共轭准则。它统一证明了已知的共轭准则，并推导出对全变换半群、其线性类比以及有限部分自动变换等半群的新准则，同时证明 ${\mathcal{ISA}}(X)$ 不是等群半群，从而否定了此前针对该半群的共轭性结论。

ABSTRACT

Let $S$ be a semigroup. The elements $a,b\in S$ are called primarily conjugate if $a=xy$ and $b=yx$ for certain $x,y\in S$. The relation of conjugacy is defined as the transitive closure of the relation of primary conjugacy. In the case when $S$ is a monoid, denote by $G$ the group of units of $S$. Then the relation of $G$-conjugacy is defined by $a\sim_G b \iff a=g^{-1}bg$ for certain $g\in G$. We establish the structure of conjugacy classes for regular epigroups (i.e. semigroups such that some power of each element lies in a subgroup). As a corollary we obtain a criterion of conjugacy in terms of $G$-conjugacy for factorizable inverse epigroups. We show that our general conjugacy criteria easily lead to known and new conjugacy criteria for some specific semigroups, among which are the full transformation semigroup and the full inverse symmetric semigroup over a finite set, the linear analogues of these semigroups and the semigroup of finitary partial automatic transformations over a finite alphabet.

研究动机与目标

• 建立正则等群半群中共轭类的结构刻画，其中每个元素的某次幂属于一个子群。
• 通过 $G$-共轭为可分解逆等群半群中的共轭提供一个准则，推广已知结果。
• 统一并简化对经典半群（如全变换半群及其线性类比）的共轭准则的证明。
• 通过证明 ${\mathcal{ISA}}(X)$ 不是等群半群，纠正其共轭准则的错误，从而使其不被主定理覆盖。

提出的方法

• 利用格林关系和 $\mathcal{D}$-类的结构，分析群束缚元素及其 $\mathcal{H}$-类的行为。
• 证明两个群元素共轭当且仅当它们是 $G$-共轭，利用格林关系诱导的 $\mathcal{H}$-类之间的同构。
• 提出一种约化技术：对任意元素 $f$，其共轭性由 $fe_f$ 的 $G$-共轭性决定，其中 $e_f$ 是 $f$ 的 $\mathcal{D}$-类对应的幂等元。
• 通过验证其单位群和幂等元结构满足 $G$-共轭约化所需的条件，将主准则应用于特定半群。
• 构造一个基于二元字母表的有限自动机反例，证明 $f_{{\mathcal{A}},q_0}$ 不是群束缚的，从而证明 ${\mathcal{ISA}}(X)$ 不是等群半群。
• 该证明依赖于分析自动机作用下字的轨道，表明链长无界，根据引理11，这意味着非群束缚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正则等群半群中，共轭类的结构是怎样的，特别是与 $G$-共轭的关系如何？
• RQ2 如何通过关联元素的 $G$-共轭刻画可分解逆等群半群中的共轭关系？
• RQ3 是否能从主定理统一推导出 $\mathcal{T}(X)$、$\mathcal{ISA}(X)$ 及其有限型变体等半群的已知共轭准则？
• RQ4 ${\mathcal{ISA}}(X)$——即有限字母表上部分自动置换的半群——是否为等群半群，这是否影响其共轭分类？
• RQ5 非等群结构对共轭关系有何影响，特别是对不存在群元素的共轭类的存在性有何影响？

主要发现

• 本文证明，在正则等群半群中，两个群束缚元素共轭当且仅当其关联群元素是 $G$-共轭的，从而提供了结构化的共轭准则。
• 对于可分解逆等群半群，两个元素共轭当且仅当 $fe_f$ 与 $ge_g$ 是 $G$-共轭的，其中 $e_f$ 是 $f$ 的 $\mathcal{D}$-类的幂等元。
• 对 $Fin{\mathcal{ISA}}(X)$ 的共轭准则被确立为：$f \sim g$ 当且仅当 $fe_f$ 与 $ge_g$ 是 $Fin{\mathcal{SA}}(X)$-共轭的。
• 有限自动变换半群 $Fin{\mathcal{A}}(X)$ 满足相同的准则：$f \sim g$ 当且仅当 $\overline{fe_f}$ 与 $\overline{ge_g}$ 是 $Fin{\mathcal{SA}}(X)$-共轭的。
• 本文构造了一个在 $\{0,1\}$ 上的有限自动机，其诱导的部分置换 $f_{{\mathcal{A}},q_0}$ 具有无界的链长，从而证明其不是群束缚的。
• 因此，${\mathcal{ISA}}(X)$ 不是等群半群，且存在不含群元素的共轭类——这否定了文献[10]中的先前主张——且其中宣布的共轭准则不成立。