[论文解读] On conjugates and the asymptotic distortion of 1-dimensional $C^{1+bv}$ diffeomorphisms

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 8

一句话总结

该论文证明了具有绝对连续导数和无理旋转数的 $C^{1+bv}$ 圆周微分同胚可以在 $C^{1+bv}$ 拓扑下共轭于旋转，将赫尔曼的结果从 $C^2$ 提升至 $C^{1+bv}$ 正则性。此外，该结果进一步推广至此类微分同胚的自由、可数阿贝尔群，通过几何方法显式构造了共轭序列。

ABSTRACT

We show that a $C^{1+bv}$ circle diffeomorphism with absolutely continuous derivative and irrational rotation number can be conjugated to diffeomorphisms that are $C^{1+bv}$ arbitrary close to the corresponding rotation. This improves a theorem of M.~Herman, who established the same result but starting with a $C^2$ diffeomorphism. We prove that the same holds for countable Abelian groups of circle diffeomorphisms acting freely, a result that is new even in the $C^{\infty}$ context. Related results and examples concerning the asymptotic distortion of diffeomorphisms are presented. Along this path, we provide a straightened version of the classical Denjoy-Kocsma inequality for absolutely continuous potentials.

研究动机与目标

• 将赫尔曼关于 $C^2$ 微分同胚在 $C^{1+bv}$ 拓扑下共轭于旋转的定理，推广至具有绝对连续导数的 $C^{1+bv}$ 正则类。
• 将单个微分同胚的共轭结果推广至自由、可数阿贝尔群的 $C^{1+bv}$ 圆周微分同胚。
• 基于群元素上导数的乘积，通过几何方法显式构造共轭序列。
• 证明此类共轭的渐近扭曲度趋于零，从而确保在 $C^{1+bv}$ 拓扑下的收敛性。
• 提出适用于绝对连续势函数的丹尼约-科茨马不等式的改进版本，以支持主要结果。

提出的方法

• 构造一列共轭微分同胚 $h_n$，其导数为在增长的有限集 $B(n-1)$ 中所有群元素导数的归一化几何平均。
• 利用上链关系和导数链式法则分析共轭映射的扭曲度，特别是对数导数的变化。
• 应用魏尔的等分布定理，证明在极限下，第二对数导数的遍历平均趋于零。
• 通过 $C^1$ 共轭于旋转所导出的 $Dh_n$ 和 $Dh_n^{-1}$ 的一致有界性，控制共轭映射对数导数的总变差。
• 利用 $Dh_n$ 为归一化几何平均的事实，确保其在 $L^1$ 范数下一致有界，并收敛于常数导数 1。
• 采用基于路径的构造方法，将序列结果推广至连续共轭路径，实现 $C^{1+bv}$ 收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 赫尔曼关于 $C^2$ 微分同胚在 $C^{1+bv}$ 拓扑下共轭于旋转的结果，能否推广至具有绝对连续导数的 $C^{1+bv}$ 微分同胚？
• RQ2 在 $C^{1+bv}$ 拓扑下，自由、可数阿贝尔群的 $C^{1+bv}$ 圆周微分同胚是否仍可共轭于旋转？
• RQ3 能否显式构造一列共轭微分同胚，使得共轭后的映射在 $C^{1+bv}$ 拓扑下收敛于对应的旋转？
• RQ4 共轭映射对数导数的总变差的渐近行为如何？其与扭曲度控制的关系为何？
• RQ5 经典丹尼约-科茨马不等式应如何适配于此类动力系统中的绝对连续势函数？

主要发现

• 每个具有绝对连续导数和无理旋转数的 $C^{1+bv}$ 圆周微分同胚，均存在一列 $C^{1+bv}$ 共轭映射，其在 $C^{1+bv}$ 拓扑下收敛于对应的旋转。
• 对于具有绝对连续导数的自由、可数阿贝尔群的 $C^{1+bv}$ 圆周微分同胚，存在一列 $C^{1+bv}$ 共轭映射路径，其收敛于对应的旋转群作用。
• 由 $B(n-1)$ 上导数的归一化几何平均所定义的显式共轭序列 $h_n$，满足 $h_n f h_n^{-1} \to R_{\rho(f)}$ 在 $C^{1+bv}$ 拓扑下收敛。
• 共轭映射对数导数的总变差趋于零，这是实现 $C^{1+bv}$ 收敛的关键要素。
• 证明表明，由于魏尔等分布定理及群作用结构，轨道段上第二对数导数的遍历平均在极限下趋于零。
• 该结果表明，具有无理旋转数和绝对连续导数的 $C^{1+bv}$ 微分同胚的共轭类，在此类映射空间中是 $C^{1+bv}$ 稠密的。