[论文解读] On Conjugation Action of $S_n$ on Invertible Matrices

Yona Cherniavsky, Mishael Sklarz|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2004

graph theory and CDMA systems被引用 1

一句话总结

本文证明了两个置换矩阵相似当且仅当它们在对称群 $S_n$ 中共轭，表明 $S_n$ 的共轭类在 $∕𝕃_n(\mathbb{C})$ 的自然表示下不会合并。该结果被用于枚举 $S_n \times S_n$ 作用下的不动点，并对 $S_n$-作用于 $k$-元组所产生的置换表示中哪些保持或统一了共轭类进行了分类。

ABSTRACT

Although the conjugacy classes of the general linear group are known, it is not obvious (from the canonic form of matrices) that two permutation matrices are similar if and only if they are conjugate as permutations in the symmetric group, i.e. that conjugacy classes of S_n do not unite under the natural representation. We prove this fact, and give its application to the enumeration of fixed points under a natural action of S_n x S_n. We also consider the permutation representations of S_n which arise from the action of S_n on k-tuples, and classify which of them unite conjugacy classes and which do not.

研究动机与目标

• 建立 $S_n$ 的共轭类在通过自然表示嵌入 $∕𝕃_n(\mathbb{C})$ 时不会合并的结论。
• 提供关于由 $k$-元组产生的 $S_n$ 置换表示在何时保持或合并共轭类的刻画。
• 将结果应用于枚举 $S_n \times S_n$ 在可逆矩阵集合上的作用下的不动点。
• 阐明在对称群表示背景下置换共轭与矩阵相似之间的关系。

提出的方法

• 使用矩阵的典范有理标准型分析置换矩阵的相似性。
• 应用群论论证表明两个置换矩阵相似当且仅当它们在 $S_n$ 中共轭。
• 利用置换的轮换型决定其在 $S_n$ 中的共轭类这一事实，并将其与矩阵表示的有理 canonical 形式联系起来。
• 分析 $S_n$ 对 $k$-元组的作用以构造置换表示，并确定在这些表示中共轭类是否保持分离。
• 采用组合枚举技术计算 $S_n \times S_n$ 作用在可逆矩阵上的不动点数。
• 依赖对称群及其表示的结构，对哪些作用保持或统一共轭类进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在通过自然表示嵌入 $∕𝕃_n(\mathbb{C})$ 时，$S_n$ 的共轭类在何种条件下保持分离？
• RQ2 $S_n \times S_n$ 在可逆矩阵集合上的作用如何导致不动点枚举，共轭类保持性在此过程中起什么作用？
• RQ3 由 $S_n$ 作用于 $k$-元组产生的哪些 $S_n$ 置换表示保持了 $S_n$ 的原始共轭类？
• RQ4 在何种情况下 $S_n$ 的共轭类在置换表示中被统一？
• RQ5 置换的轮换型在多大程度上决定了其矩阵表示的有理 canonical 形式？

主要发现

• 两个置换矩阵相似当且仅当它们在 $S_n$ 中作为置换共轭，意味着 $S_n$ 的共轭类在自然表示下不会合并。
• $S_n$ 到 $∕𝕃_n(\mathbb{C})$ 的自然表示保持了 $S_n$ 的共轭类结构。
• 通过共轭类保持结果，可以枚举 $S_n \times S_n$ 作用在可逆矩阵上的不动点数。
• 对于由 $S_n$-作用于 $k$-元组产生的置换表示，共轭类被保持当且仅当该作用足够传递或具有特定轨道结构。
• 本文通过确定从 $S_n$ 到 $∕_m$（其中 $m = \binom{n}{k}$）的诱导映射是否保持或统一共轭类，对这些表示进行了分类。
• 置换矩阵的有理 canonical 形式完全由对应置换的轮换型决定，这确保了相似性蕴含在 $S_n$ 中的共轭性。