[论文解读] On connectedness of non-klt loci of singularities of pairs

Caucher Birkar|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2020

Finite Group Theory Research被引用 4

一句话总结

本文证明了在投影态射 $X \to Z$ 且纤维连通、$-(K_X + B)$ 在 $Z$ 上拟有效时，对偶对 $(X,B)$ 的非 klt 集合在每根纤维附近至多有两个连通分支，从而证实了 Hacon 与 Han 的猜想。此外，通过建立一个数值准则，解决了 Mark Gross 在镜像对称背景下关于非 klt 集合连通性的问题。

ABSTRACT

We study the non-klt locus of singularities of pairs. We show that given a pair $(X,B)$ and a projective morphism $X o Z$ with connected fibres such that $-(K_X+B)$ is nef over $Z$, the non-klt locus of $(X,B)$ has at most two connected components near each fibre of $X o Z$. This was conjectured by Hacon and Han. In a different direction we answer a question of Mark Gross on connectedness of the non-klt loci of certain pairs. This is motivated by constructions in Mirror Symmetry.

研究动机与目标

• 验证 Hacon 与 Han 的猜想：当 $-(K_X + B)$ 在具有连通纤维的基 $Z$ 上拟有效时，对偶对 $(X,B)$ 的非 klt 集合至多有两个连通分支。
• 回答 Mark Gross 在镜像对称构造背景下提出的关于非 klt 集合连通性的问题。
• 为 log Calabi–Yau 对中 strata 的连通性提供一个数值准则，特别是针对零维非 klt 中心的对偶对。
• 在不假设 klt 反极化终止的前提下，通过双有理几何与 MMP 技巧，证明非 klt 集合的连通性可被保证。
• 将连通性原理推广至 $-(K_X + B)$ 仅为拟有效而非大或 ample 的情形。

提出的方法

• 使用极小模型程序（MMP）构造对偶对 $(X,B)$ 的 dlt 变换 $(X', B')$，通过双有理变换保持非 klt 中心不变。
• 应用邻接理论，为 strata $V$ 定义 $K_V + B_V = (K_X + B)|_V$，并分析非 klt 集合 $\mathrm{Nklt}(V, B_V)$ 为 $\lfloor B_V \rfloor$。
• 运用伪有效性和基底簇 ${\bf B}_-(D)$ 的概念，分析在零维非 klt 中心处的爆破下除子的行为。
• 利用负性引理及在零维非 klt 中心处爆破所得的例外除子 $E$ 的性质，控制 $K_X + B$ 的数值行为。
• 反证法：假设 $\lfloor B_V \rfloor$ 不连通，但其提升 $\lfloor B'_{V'} \rfloor$ 连通，由此导出存在共同非 klt 中心的矛盾。
• 证明：若对任意 $t > 0$，$\phi^*(K_X + B) - tE$ 均非伪有效，则在适当假设下，非 klt 集合保持连通。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $-(K_X + B)$ 在具有连通纤维的基 $Z$ 上拟有效时，Hacon 与 Han 的猜想是否成立：即对偶对 $(X,B)$ 的非 klt 集合至多有两个连通分支？
• RQ2 在具有零维非 klt 中心的对偶对 $(X,C)$ 中，对任意维数 $\geq 2$ 的 strata $V$，非 klt 集合 $C_V$ 在何种条件下是连通的？
• RQ3 在镜像对称背景下，是否可在不假设 klt 反极化终止的前提下保证非 klt 集合的连通性？
• RQ4 是否存在一个数值准则，可确保具有零维非 klt 中心的 log Calabi–Yau 对中 strata 的连通性？
• RQ5 连通性原理是否可推广至 $-(K_X + B)$ 仅为拟有效而非大或 ample 的情形？

主要发现

• 当投影态射 $X \to Z$ 的纤维连通且 $-(K_X + B)$ 在 $Z$ 上拟有效时，对偶对 $(X,B)$ 的非 klt 集合在每根纤维附近至多有两个连通分支，从而证实了 Hacon-Han 猜想。
• 若 $\phi^*(K_X + B) - tE$ 对任意 $t > 0$ 均非伪有效，其中 $\phi$ 为在零维非 klt 中心 $x$ 处的爆破，则对任意维数 $\geq 2$ 的 strata $V$，非 klt 集合 $C_V$ 是连通的，从而回答了 Gross 的问题。
• 当 $K_X + B \equiv \sum a_i B_i$ 且所有 $a_i \geq 0$，且零维非 klt 中心 $x$ 不在 $K_X + B - \sum u_i B_i$ 的基底簇中（对合适的 $0 \leq u_i \leq a_i$），则对维数 $\geq 2$ 的 strata $V$，$\mathrm{Nklt}(V, B_V)$ 的连通性成立。
• 该结果无需假设 klt 反极化终止，而是依赖于 MMP 与伪有效性的性质。
• 证明建立了 $(X,B)$ 与 dlt 变换 $(X', B')$ 之间非 klt 中心的一一对应关系，从而可转移连通性性质。
• 对任意满足在 $x$ 处爆破下数值条件的对偶对 $(X,B)$，存在一个 log 极小模型 $(X', B')$，使得 $K_{X'} + B' \sim_{\mathbb{Q}} 0$，从而保证在 strata 上非 klt 集合的连通性。