[论文解读] On Connections of Conformal Field Theory and Stochastic Lœwner Evolution

R. Friedrich|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2004

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 47被引用 14

一句话总结

本文通过利用在第二级退化最高权表示下，将随机洛瓦泽尔演化（SLE）参数κ与维拉索罗代数的中心指数c联系起来，建立了SLE与共形场论（CFT）之间的严格联系。它表明SLE中的限制性质对应于CFT中的瓦尔德恒等式，而布朗运动气泡的密度则编码了中心指数，通过黎曼曲面模空间上的扩散过程，为量子场论可观测量提供了几何实现。

ABSTRACT

This manuscript explores the connections between a class of stochastic processes called "Stochastic Loewner Evolution" (SLE) and conformal field theory (CFT). First some important results are recalled which we utilise in the sequel, in particular the notion of conformal restriction and of the "restrcition martingale", originally introduced in Conformal restriction (G.F. Lawler, et al). Then an explicit construction of a link between SLE and the representation theory of the Virasoro algebra is given. In particular, we interpret the Ward identities in terms of the restriction property and the central charge in terms of the density of Brownian bubbles. We then show that this interpretation permits to relate the $κ$ of the stochastic process with the central charge $c$ of the conformal field theory. This is achieved by a highest-weight representation which is degenerate at level two, of the Virasoro algebra. Then we proceed by giving a derivation of the same relations, but from the theoretical physics point of view. In particular, we explore the relation between SLE and the geometry of the underlying moduli spaces. Finally we outline a general construction which allows to construct random curves on arbitrary Riemann surfaces. The key to this is to consider the canonical operator $\fracκ{2}L^2_{-1}-2L_{-2}$ in conjunction with a boundary field that is a degenerate highest-weight field $ψ$ as the generator of a diffusion on an appropriate moduli space.

研究动机与目标

• 建立随机洛瓦泽尔演化（SLE）与共形场论（CFT）之间的深刻数学联系，尤其在边界CFT的背景下。
• 将SLE中的限制性质解释为边界CFT中瓦尔德恒等式的体现，从而将概率构造建立在代数结构之上。
• 利用第二级退化最高权表示，推导出SLE参数κ与维拉索罗代数中心指数c之间的精确关系。
• 通过在模空间上构造一个扩散过程（使用算子κ/2 L⁻₁² − 2L⁻₂和一个退化初级场ψ），将SLE推广到任意黎曼曲面。
• 证明统计力学模型（如自旋域壁）中的随机曲线可自然地从CFT的模空间几何与关联函数中涌现。

提出的方法

• 以[50]中的共形限制概念和限制鞅为基石工具，建立SLE与CFT之间的联系。
• 构造一个在第二级退化的维拉索罗代数最高权表示，从而推导出κ–c关系。
• 将算子κ/2 L⁻₁² − 2L⁻₂用作黎曼曲面带 puncture 的模空间上扩散过程的生成元。
• 运用施菲弗变分和“纽扣孔构造”来建模边界形变和使共形结构发生形变的拟共形映射。
• 通过解析延拓和行列式线丛的几何，将SLE演化与模空间形变联系起来。
• 将中心指数c推导为SLE过程中布朗运动的方差，从而将其与布朗运动气泡的密度联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 SLE参数κ如何系统地与共形场论的中心指数c相关联？
• RQ2 SLE中的限制性质在何种方式下对应于边界CFT中的瓦尔德恒等式？
• RQ3 如何通过算子理论与几何方法，将SLE推广到任意黎曼曲面？
• RQ4 退化最高权场在生成描述随机曲线的模空间扩散中起什么作用？
• RQ5 模空间的几何（特别是施菲弗变分与行列式线丛）如何编码临界系统随机动力学的特性？

主要发现

• 维拉索罗代数的中心指数c与SLE参数κ通过关系式c = (2κ − 8)(12/κ − 2)直接关联，该关系式源自第二级退化最高权表示。
• SLE中的限制鞅精确对应于CFT中规范不变性的瓦尔德恒等式，建立了深刻的代数-几何联系。
• SLE过程中布朗运动气泡的密度被证明编码了中心指数c，为这一关键CFT不变量提供了概率解释。
• 一个规范微分算子κ/2 L⁻₁² − 2L⁻₂，当与一个退化初级场ψ耦合时，可在黎曼曲面的模空间上生成一个扩散过程。
• 通过模空间上的随机过程，可在任意黎曼曲面上构造出随机曲线，其路径通过切割曲面并移动标记点获得，从而诱导出拟共形形变。
• CFT的配分函数包含了标度极限下随机域壁的信息，而这些信息由模空间的几何及其相关线丛所捕获。