[论文解读] On conservative partially hyperbolic abelian actions with compact center foliation

Danijela Damjanović, Disheng Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用 5

一句话总结

该论文建立了具有紧致中心叶状结构的光滑、保守、部分双曲 $Π^k$-作用的全局刚性结果：在不可约性、捆扎性及一致共形性条件下，该作用微分共轭于环面上的线性Anosov作用与紧致流形上等距作用的乘积，或中心叶状结构为病态的。关键贡献在于对极大Cartan作用上圆丛扩张的二分法：它们要么本质上是代数的（旋转与线性Anosov作用的乘积），要么具有病态的中心叶状结构。

ABSTRACT

We consider smooth partially hyperbolic volume preserving Z^k actions on smooth manifolds, with uniformly compact center foliation. We show that under certain irreducibility condition on the action, bunching and uniform quasiconformality conditions, the action is a smooth fiber bundle extension of an Anosov action, or the center foliation is pathological. We obtain several corollaries of this result. For example, we prove a global dichotomy result that any smooth conservative circle extension over a maximal Cartan action is either essentially a product of an action by rotations and a linear Anosov action on the torus, or has a pathological center foliation.

研究动机与目标

• 在不可约性与几何条件的约束下，建立光滑、保守、部分双曲的 $\mathbb{Z}^k$-作用在中心叶状结构一致紧致时的全局刚性。
• 将关于Anosov微分同胚上光滑纤维丛的秩一结果推广至高阶阿贝尔作用。
• 证明关于极大Cartan作用上保守圆丛扩张的全局二分法：要么为代数结构（旋转与线性Anosov作用的乘积），要么中心叶状结构为病态。
• 在缺乏一致共形性的情况下，发展Anosov作用全局刚性理论的保守推广。

提出的方法

• 使用高阶动力系统技术，包括[16]和[37]中的本质cocycle刚性，分析Lyapunov叶状结构与作用结构。
• 应用Anosov作用全局刚性的保守版本（定理5），在纤维丛底空间建立微分共轭。
• 利用在均匀紧致性下中心叶状结构的动态共轭性与平凡holonomy，确保纤维丛行为良好。
• 使用Lyapunov泛函与Weyl锥验证作用的完备性，并识别具有强双曲性的元素。
• 应用不变性原理与holonomy映射的绝对连续性，控制中心叶状结构的正则性。
• 通过微分共轭与双重覆盖论证，将问题约化为已知的线性Anosov作用结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有紧致中心叶状结构的保守、部分双曲 $\mathbb{Z}^k$-作用可分解为Anosov作用的光滑纤维丛扩张？
• RQ2 关于极大Cartan作用的保守圆丛扩张能否被全局分类为代数结构或具有病态中心叶状结构？
• RQ3 在缺乏一致共形性的情况下，对高阶设置中的Anosov作用现有全局刚性结果的适用性受到何种程度的限制？
• RQ4 不可约性与捆扎性条件如何相互作用，以在具有紧致中心叶状结构的部分双曲阿贝尔作用中强制结构刚性？
• RQ5 在何种条件下，紧致中心叶状结构不会为病态，即允许Lebesgue分解与绝对连续的holonomy？

主要发现

• 任何关于极大Cartan作用的光滑保守圆丛扩张，要么微分共轭于环面上的线性Anosov作用与旋转作用的乘积，要么其中心叶状结构为病态。
• 在不可约性、捆扎性与一致共形性条件下，具有均匀紧致中心叶状结构的 $\mathbb{Z}^k$-作用微分共轭于环面上的线性Anosov作用与紧致流形上等距作用的乘积。
• 在非病态假设下，若微分同胚为 $r$-捆扎且holonomy一致光滑，则中心叶状结构为 $C^{r+}$-叶状结构。
• 证明了作用是完备的（在Lyapunov泛函意义下），从而可应用关于动态共轭性与平凡holonomy的结果，至多在双重覆盖下成立。
• 建立了Anosov作用全局刚性的保守推广，表明底作用微分共轭于环面上的线性Anosov作用。
• 本文为具有一维稳定与不稳定丛及紧致中心叶状结构的单个微分同胚提供了新的全局刚性结果，表明若中心叶状结构非病态，则此类系统在 $C^{r+}$ 意义下微分共轭于代数模型。