[论文解读] On constructing complete permutation polynomials over finite fields of even characteristic

Baofeng Wu, Dongdai Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文通过基于相对迹函数和线性化多项式的一种递归方法，将有限域上偶特征的完全置换多项式（CPPs）的构造方法推广至更一般的情形。此外，通过计算已知CPPs的复合逆，推导出新的CPP类，得到了其逆的显式公式，并扩展了在F_{2^m}上奇数次扩域中已知CPPs的集合。

ABSTRACT

In this paper, a construction of complete permutation polynomials over finite fields of even characteristic proposed by Tu et al. recently is generalized in a recursive manner. Besides, several classes of complete permutation polynomials are derived by computing compositional inverses of known ones.

研究动机与目标

• 将Tu等（2013）中已知的偶特征有限域上完全置换多项式（CPPs）的构造方法推广至更广范围。
• 提出一种递归方法，利用相对迹函数和线性化多项式，在扩展域F_{2^{nm}}上构造CPPs。
• 通过计算已知单项式和三项式CPPs的复合逆，推导出新的CPP类。
• 为所构造的CPPs提供复合逆的显式公式，增强其在密码学与编码理论中的应用价值。

提出的方法

• 通过将F_{2^{3m}}上的三项式F(x) = x^{2^{2m}+1} + x^{2^m+1} + vx推广至F_{2^{nm}}上的F(x) = x(L(tr(x)) + u tr(x) + u x) + v x，其中n为奇数，从而推广定理1.2。
• 使用相对迹函数tr: F_{2^{nm}} → F_{2^m}，并构造F(x) = xL(tr(x)) + u x tr(x) + u x^2 + v x，其中L(x)为线性化多项式。
• 应用递归框架：若xL(x) + v x是F_{2^m}上的CPP，则F(x)是F_{2^{nm}}上的CPP（当n为奇数时）。
• 采用Wu和Liu（2013）的技术，计算所构造CPPs的复合逆，从而获得显式逆公式。
• 通过拉格朗日插值与代数恒等变形推导逆，根据tr(x)的取值分情况讨论，并利用迹条件下幂次和的恒等式。
• 证明CPP的复合逆本身也是CPP，从而可从已知类生成新类。

实验结果

研究问题

• RQ1 定理1.2中完全置换多项式的构造能否推广至F_{2^m}上任意奇数次扩域？
• RQ2 如何显式计算偶特征有限域上完全置换多项式的复合逆？
• RQ3 何种递归结构允许利用迹函数与线性化多项式，从F_{2^m}上的CPPs构造F_{2^{nm}}上的CPPs？
• RQ4 能否通过逆计算系统地从已知CPPs推导出新类？
• RQ5 所构造多项式保持为完全置换多项式的必要与充分条件（如参数v, u, m, n）是什么？

主要发现

• 当xL(x) + v x是F_{2^m}上的CPP且v ∈ F_{2^m} \{0,1}时，多项式F(x) = x(L(tr(x)) + u tr(x) + u x) + v x是F_{2^{nm}}上的完全置换多项式，其中n为任意奇数。
• 所构造CPPs的复合逆通过Wu和Liu（2013）提出的方法显式确定，得到一个包含幂次和与迹函数的闭式表达式。
• 对于特定情形F(x) = x(tr_{m}^{nm}(x) + x) + v x，该构造将定理1.2推广至所有奇数n，将已知在F_{2^{3m}}上的类扩展至F_{2^{nm}}。
• 多项式F(x)的逆通过拉格朗日插值在三种情况（基于tr(x)的取值）下表达，并利用[13, 引理3.5]中的恒等式简化。
• 该方法通过从子域提升已知CPPs，在F_{2^{nm}}上生成新的递归CPP类，显著扩展了此类多项式已知的家族。
• 提出一个开放问题：在分枝扩张F_{2^{2^e}}（扩展次数为2的幂）上构造完全置换多项式。