[论文解读] On contact discontinuities in multi-dimensional isentropic Euler equations

Jan Březina, Elisabetta Chiodaroli+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文建立了二维可压缩等熵欧拉方程在包含接触间断的黎曼初值条件下，有界可接受弱解的非唯一性。通过凸积分技巧构造一个扇形次解，并验证熵和可接受性条件，作者证明当间断面两侧的速度分量满足特定不等式时，存在无穷多组解，将先前关于非唯一性的结果扩展至包含接触间断的情形。

ABSTRACT

In this short note we partially extend the recent nonuniqueness results on admissible weak solutions to the Riemann problem for the 2D compressible isentropic Euler equations. We prove nonuniqueness of admissible weak solutions that start from the Riemann initial data allowing a contact discontinuity to emerge.

研究动机与目标

• 将二维可压缩等熵欧拉方程的非唯一性结果扩展至包含接触间断的黎曼初值条件。
• 研究当自相似解中包含接触间断时，可接受弱解是否仍保持唯一性，特别是当 $ v_{-1} \neq v_{+1} $ 时。
• 在特定速度与密度条件下，利用次解技术证明存在无穷多组有界可接受弱解。
• 验证所构造的解满足熵不等式与可接受性条件，确保其物理合理性。

提出的方法

• 通过自相似假设，在中间区域采用速度 $ \beta $，构造一个由两个界面分隔的分段常数状态的扇形次解。
• 在左右界面处应用兰金-休贡约特条件，关联间断面两侧的状态。
• 施加次解条件 $ \varepsilon_1 > 0 $，$ \varepsilon_2 > 0 $，以确保次解严格位于可接受状态的凸包内部。
• 利用涉及压强、密度和速度差值的不等式，验证两个界面上的可接受性条件。
• 确保界面速度满足 $ \nu_- < \beta < \nu_+ $，该条件通过文献[4]中先前引理的估计得到确认。
• 利用凸积分技巧与贝尔范畴方法（源自不可压缩欧拉理论），从单一一个次解生成无穷多组解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当自相似解中包含接触间断时，二维等熵欧拉方程中可接受弱解的非唯一性是否仍然成立？
• RQ2 能否为满足 $ v_{-1} \neq v_{+1} $ 的黎曼数据（其中出现接触间断）构造出无穷多组有界可接受弱解？
• RQ3 所构造的次解是否满足可接受性条件与熵不等式，从而确保其物理合理性？
• RQ4 速度差 $ v_{-2} - v_{+2} $ 与密度比如何影响此类解的存在性？

主要发现

• 当黎曼初值数据包含接触间断且 $ v_{-1} \neq v_{+1} $ 时，二维等熵欧拉方程存在无穷多组有界可接受弱解。
• 非唯一性结果通过满足所有兰金-休贡约特条件、次解条件与可接受性条件的扇形次解构造得以确立。
• 界面速度满足 $ \nu_- < \beta < \nu_+ $，确保次解结构有效且解具有物理可接受性。
• 通过涉及压强、密度与速度差值的不等式，验证了两个界面上的可接受性条件，且 $ \varepsilon_1, \varepsilon_2 > 0 $。
• 该结果将文献[4]与[5]中的先前非唯一性定理扩展至包含接触间断的情形，填补了文献中的空白。
• 此类解的存在性表明，即使在存在接触间断的情况下，仅靠熵不等式也不足以唯一确定解。