[论文解读] On continuous functions definable in expansions of the ordered real additive group

Philipp Hieronymi, Erik Walsberg|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文研究了有序实加法群扩张中可定义的连续函数的结构。结果表明，要么所有此类函数在某个稠密开集上为C²，要么所有C²函数均为仿射函数，要么所有连续函数均可定义；在NTP₂或不存在二阶算术解释的条件下，第一种情况占主导地位，且C¹函数足以推出所有连续函数的完全可定义性。

ABSTRACT

Let $\mathcal R$ be an expansion of the ordered real additive group. Then one of the following holds: either every continuous function $[0,1] o \mathbb R$ definable in $\mathcal R$ is $C^2$ on an open dense subset of $[0,1]$, or every $C^2$ function $[0,1] o \mathbb R$ definable in $\mathcal R$ is affine, or every continuous function $[0,1] o \mathbb R$ is definable in $\mathcal R$. If $\mathcal R$ is NTP$_{2}$ or more generally does not interpret a model of the monadic second order theory of one successor, the first case holds. It is due to Marker, Peterzil, and Pillay that whenever $\mathcal R$ defines a $C^2$ function $[0,1] o \mathbb R$ that is not affine, it also defines an ordered field on some open interval whose ordering coincides with the usual ordering on $\mathbb R$. Assuming $\mathcal R$ does not interpret second-order arithmetic, we show that the last statement holds when $C^2$ is replaced by $C^1$.

研究动机与目标

• 对有序实加法群扩张中可定义的连续函数的可能结构进行分类。
• 确定在何种模型论条件下，所有连续函数均成为可定义的。
• 在可定义性与模型论良态性的背景下，将已知的C²结果推广至C¹函数。
• 阐明NTP₂以及不存在二阶算术解释在控制可定义函数行为中的作用。

提出的方法

• 分析有序实加法群扩张的模型论性质。
• 利用Marker、Peterzil和Pillay关于非仿射C²函数可推出可定义有序域的结果。
• 应用NTP₂理论以限制可能的可定义函数类。
• 建立在不存在二阶算术解释的条件下，当存在C¹函数时，所有连续函数均为可定义的结论。
• 采用可定义性传递技术，证明C¹函数可推出所有连续函数的完全可定义性。
• 利用非仿射C²函数可推出可定义有序域的事实，并在额外的模型论假设下将此结论推广至C¹函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有序实加法群扩张中，C¹函数的可定义性在何种条件下可推出[0,1]上所有连续函数的可定义性？
• RQ2 NTP₂或不存在二阶算术解释如何影响可定义连续函数的正则性与结构？
• RQ3 在这些扩张中，触发所有连续函数可定义性的最小光滑性条件（例如C¹与C²）是什么？
• RQ4 若一个扩张中存在一个非仿射C²函数，是否可强制在某个区间上存在一个可定义的有序域？
• RQ5 有序实加法群扩张中可定义连续函数的三叉分类是什么？

主要发现

• 若有序实加法群的扩张在[0,1]上可定义一个非仿射C²函数，则其在某个开区间上也可定义一个具有标准序的有序域。
• 在NTP₂扩张中，或在不解释一元后继的二阶理论的扩张中，该结构中所有可定义的连续函数在[0,1]的稠密开子集上均为C²。
• 假设结构不解释二阶算术，则[0,1]上所有C¹函数的可定义性可推出所有连续函数的可定义性。
• 可定义连续函数的三叉分类成立：要么所有函数在稠密开集上为C²，要么所有C²函数均为仿射函数，要么所有连续函数均可定义。
• 在更强的模型论假设下，该结果将先前基于C²的结论推广至C¹函数，表明在良态条件结合下，C¹函数已足够触发完全可定义性。