[论文解读] On Contractions of smooth varieties

Marco Andreatta, Jarosław A. Wiśniewski|ArXiv.org|May 23, 1996

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 18

一句话总结

该论文对具有孤立二维纤维的光滑复4-流形的良好收缩进行了分类，提供了此类纤维丛的完整几何与概型理论描述。通过有理曲线的形变理论与爆破技巧，证明了纤维的余切丛是全局生成的，从而实现通过基空间在奇点处的爆破的因式分解，并完全刻画了与 $\mathbb{P}^2$、二次曲面或平面并集同构的纤维的例外除子与希尔伯特概形结构。

ABSTRACT

Let $\f: X a Z$ be a proper surjective map from a smooth complex manifold $X$ onto a normal variety $Z$. If $\f$ has connected fibers and $-K_X$ is $\f$-ample then $\f$ is called a good contraction. In the present paper we study good contractions, fibers of which have dimension less or equal than two: after describing possible two dimensional isolated fibers we discuss their scheme theoretic structure and the geometry of $\f:X a Z$ nearby such a fiber. If $dimX=4$ and $\f$ is birational with an isolated 2 dimensional fiber then we obtain a complete description of $\f$. We provide also a description of a 4 dimensional conic fibration with an isolated fiber which is either a plane or a quadric. We construct pertinent examples.

研究动机与目标

• 对具有 $-K_X$-ample 映射的光滑4-流形的良好收缩中所有可能的孤立二维纤维进行分类。
• 确定此类纤维的概型理论结构及其正规丛。
• 描述收缩映射 $\varphi: X \to Z$ 在孤立二维纤维附近的局部几何。
• 当余切丛全局生成时，建立收缩通过基空间在奇点处爆破的完全因式分解。

提出的方法

• 利用消去定理与相对基点自由性分析纤维中理性曲线的形变。
• 应用关于 codimension-two LCI 子簇的广义 Castelnuovo 收缩定理。
• 分析沿纤维的爆破及其与正规丛的关系，通过向量丛手术实现。
• 研究纤维中直线的希尔伯特概形及其在 $X$ 的爆破中的提升，追踪跳跃直线与重数。
• 使用升链引理证明4-流形情形下余切丛的全局生成性。
• 通过完全交、爆破、双重覆盖与 торic 方法构造例子，以检验并完善分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑4-流形的良好收缩中，孤立二维纤维可能的同构类型有哪些？
• RQ2 纤维的概型理论结构如何与周围流形的几何及收缩映射相关联？
• RQ3 在何种条件下纤维的余切丛是全局生成的？这对其收缩的因式分解意味着什么？
• RQ4 纤维中直线的希尔伯特概形结构如何？它如何解决基空间中的奇点？
• RQ5 在沿纤维爆破 $X$ 时，例外除子及其交线的行为如何？

主要发现

• 纤维 $F$ 是正规的，且具有 Fujita 的 $\Delta$-亏格零，这将其限制为有限类：$\mathbb{P}^2$、二次曲面或两个 $\mathbb{P}^2$ 的并。
• 当 $F \cong \mathbb{P}^2$ 时，例外除子 $E$ 的重数为 $2$，且 $\mathcal{O}_{\hat{F}_1}(\hat{E}) \cong \mathcal{O}_{\hat{F}_1}(\hat{E}_1)$，表明在爆破中具有特定结构。
• 若 $F$ 为二次曲面，则 $\operatorname{mult}_F E = 2$，且对 $F \cong \mathbb{F}_0$ 或 $\mathbb{S}_2$ 情形同样成立，通过爆破与直线形变进行类似分析。
• 当 $F = \mathbb{P}^2 \cup \mathbb{P}^2$ 时，各分量上的重数分别为 $2$ 与 $3$，且直线的希尔伯特概形有三个分量，构成一条链。
• $\hat{\varphi}: \hat{X} \to \hat{Z}$ 将 $\hat{F}_1 \cap \hat{F}_2 \cong \mathbb{F}_1$ 中的 $(-1)$-曲线 $l_0$ 收缩，$\hat{X}$ 的奇点集为一条有理三次曲线 $C_s$，满足 $C_s \cdot l_0 = 2$，在收缩 $l_0$ 后变为 $\mathbb{P}^2$ 中的有理三次曲线。
• $\hat{S}$ 在 $y_0$ 处非正规，映射 $\hat{\mathcal{H}} \to \mathcal{H}$ 通过收缩两个外部分量并将中心部分卷成有理三次曲线，从而解决三重点奇点，且 $z$ 的纤维由三个构成简单链的有理曲线参数化。