[论文解读] On convergence of the Flint Hills series

Max A. Alekseyev|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2011

Meromorphic and Entire Functions参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了弗林特山丘级数 ∑1/(n³·sin²(n)) 的收敛性与 π 的无理性指数 μ(π) 之间的直接联系。研究证明，若该级数收敛，则 μ(π) ≤ 2.5，这显著优于当前最佳上界 7.6063。该结果可推广至形如 ∑1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) 的级数，其收敛条件由 μ(π) 决定。

ABSTRACT

It is not known whether the Flint Hills series $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3\cdot\sin(n)^2}$ converges. We show that this question is closely related to the irrationality measure of $π$, denoted $μ(π)$. In particular, convergence of the Flint Hills series would imply $μ(π) \leq 2.5$ which is much stronger than the best currently known upper bound $μ(π)\leq 7.6063...$. This result easily generalizes to series of the form $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^u\cdot |\sin(n)|^v}$ where $u,v>0$. We use the currently known bound for $μ(π)$ to derive conditions on $u$ and $v$ that guarantee convergence of such series.

研究动机与目标

• 研究弗林特山丘级数 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n)) 的收敛性
• 建立该级数收敛性与 π 的无理性指数 μ(π) 之间的联系
• 将收敛条件推广至更广泛的级数类 ∑1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ)，其中 u,v > 0
• 基于已知的 μ(π) 上界推导收敛准则
• 阐明级数收敛或发散对 μ(π) 取值的影响

提出的方法

• 使用 π 的无理性指数 μ(π) 的定义，即满足 |π - p/q| < 1/qᵐ 的互质整数对 p,q 仅有有限多个的最小 m 值
• 应用引理 1，利用 n 到最近 π 倍数的距离，从下界估计 |sin(n)|
• 依赖不等式 |sin(n)| ≥ (2/π)·|n - mπ|，其中 |n - mπ| ≤ π/2，且 m = ⌊n/π⌋
• 利用若 |π - p/q| < 1/qᵏ 仅对有限多个 q 成立，则对大 n 有 |sin(n)| 至少以 n⁻ᵏ⁺¹ 的速度增长的事实
• 应用不等式 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) = O(1/nᵘ⁻⁽μ(π)⁻¹⁾ᵛ⁻ᵉ)，其中 ε > 0 任意，以分析衰减速率
• 通过与 ζ(w) 比较，应用 p-级数收敛判别法，其中 w = u - v(μ(π) - 1) - ε > 1

实验结果

研究问题

• RQ1 弗林特山丘级数 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n)) 是否收敛？
• RQ2 弗林特山丘级数的收敛性与无理性指数 μ(π) 之间存在何种关系？
• RQ3 在何种 u 和 v 条件下，广义级数 ∑₁^∞ 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) 收敛？
• RQ4 已知的 μ(π) 上界如何影响此类级数的收敛性？
• RQ5 级数的发散是否能推出 μ(π) 的非平凡下界？

主要发现

• 若弗林特山丘级数 ∑₁^∞ 1/(n³·sin²(n)) 收敛，则 μ(π) ≤ 2.5，该上界远优于当前已知的最佳上界 7.6063。
• 若 μ(π) < 1 + u/v，则序列 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) 收敛于零。
• 若 μ(π) > 1 + u/v，则序列 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) 发散，因其包含一个远离零的子序列。
• 当 μ(π) < 1 + (u - 1)/v 时，级数 ∑₁^∞ 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) 收敛，该条件在当前 μ(π) ≤ 7.6063 的上界下包含 (u,v) = (8,1)、(15,2) 和 (21,3) 等情形。
• 根据推论 6，弗林特山丘级数的发散性无法给出 μ(π) 的非平凡下界。
• 当前最佳上界 μ(π) ≤ 7.6063 意味着，对所有满足 1 + u/v > 7.6063 的 (u,v)，序列 1/(nᵘ·|sin(n)|ᵛ) 均收敛于零，包括 (7,1)、(14,2) 和 (20,3) 等情形。