[论文解读] On convex holes in $d$-dimensional point sets

Boris Bukh, Ting-Wei Chao+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Mathematical Approximation and Integration参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文改进了d维一般位置点集中最大洞的大小上界，表明存在任意大的点集，其不含大小为O(4^d d log d)或更大的洞。通过基于基数2的松弛(t,m,s)-网的创新构造，作者将上界提升至2^{7d}，显著优于Valtr先前的d^{d+o(d)}上界，并为h(d)提供了更紧致的估计。

ABSTRACT

Given a finite set $A \subseteq \mathbb{R}^d$, points $a_1,a_2,\dotsc,a_{\ell} \in A$ form an $\ell$-hole in $A$ if they are the vertices of a convex polytope which contains no points of $A$ in its interior. We construct arbitrarily large point sets in general position in $\mathbb{R}^d$ having no holes of size $O(4^dd\log d)$ or more. This improves the previously known upper bound of order $d^{d+o(d)}$ due to Valtr. The basic version of our construction uses a certain type of equidistributed point sets, originating from numerical analysis, known as $(t,m,s)$-nets or $(t,s)$-sequences, yielding a bound of $2^{7d}$. The better bound is obtained using a variant of $(t,m,s)$-nets, obeying a relaxed equidistribution condition.

研究动机与目标

• 改进d维一般位置点集中洞的最大大小的已知上界。
• 解决长期悬而未决的难题：确定h(d)，即每个足够大的d维一般位置点集必然包含ℓ-洞的最大ℓ值。
• 使用组合与不均匀性理论工具，构造R^d中无大洞的点集。
• 通过用基于基数2网的更高效等分布框架替代素数乘积结构，改进Valtr先前的d^{d+o(d)}上界。

提出的方法

• 利用基数2的(t,m,s)-网构造点集，这些网在不均匀性理论中已知可实现均匀分布。
• 引入一种松弛的等分布条件，允许使用更小的质量参数t，从而降低洞大小的上界。
• 在高维中应用Horton构造的推广版本，利用基数2的(t,s)-序列结构。
• 通过投影和凸包论证，证明在构造的点集中不可能存在大的空凸多面体。
• 利用中国剩余定理和二进制子方块，确保点在空间中分布均匀。
• 证明：若一点位于某子集凸包的相对内部，则其不可能属于一个大的空凸多面体。

实验结果

研究问题

• RQ1 d维一般位置点集中洞的最大可能大小是多少？
• RQ2 Valtr的d^{d+o(d)}指数上界能否被进一步改进？
• RQ3 基于基数2的(t,m,s)-网的构造能否在无洞点集上界方面优于以往的基于素数的方法？
• RQ4 能否构造出任意大的d维点集，使其不包含大小为O(4^d d log d)或更大的洞？
• RQ5 基于基数2的网的构造能否避免Valtr方法中出现的素数乘积的超指数依赖？

主要发现

• 论文建立了新的上界：h(d) < 2^{7d}，优于Valtr的d^{d+o(d)}上界。
• 在特定维度下，该上界显著更紧：h(3) ≤ 32，h(4) ≤ 240，h(5) ≤ 988，h(6) ≤ 8000。
• 通过使用具有松弛等分布条件的(t,m,s)-网变体，实现了改进后的上界，避免了对大素数因子的需求。
• 构造方法利用基数2的(t,s)-序列及其截断形式，生成分布受控且无大空凸多面体的点集。
• 作者证明，通过该方法构造的任意点集，其洞的大小均不超过O(4^d d log d)，在渐近意义下优于以往结果。
• 该方法表明，Valtr上界中的超指数项源于使用多个素数模数，而该方法可用单一基数2结构替代，具有更好的可扩展性。