[论文解读] On convex hulls of orbits of Coxeter groups and Weyl groups

Georg Hofmann, Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文建立了关于考克斯eter群与威尔群在向量空间上作用轨道的凸性定理，证明了任意位于蒂茨锥内的元素的轨道，均包含于正余根生成的凸锥的平移之中。关键结果表明，威尔群轨道的凸包完全由群作用决定，该结果在局部有限与局部仿射根系中对轨道上线性泛函的最小化问题具有应用价值。

ABSTRACT

The notion of a linear Coxeter system introduced by Vinberg generalizes the geometric representation of a Coxeter group. Our main theorem asserts that if $v$ is an element of the Tits cone of a linear Coxeter system and $\cW$ is the corresponding Coxeter group, then $\cW v \subeq v - C_v,$ where $C_v$ is the convex cone generated by the coroots $\check α$, for which $α(v) > 0$. This implies that the convex hull of $\cW v$ is completely determined by the image of $v$ under the reflections in $\cW$. We also apply an analogous result for convex hulls of $\cW$-orbits in the dual space, although this action need not correspond to a linear Coxeter system. Motivated by the applications in representation theory, we further extend these results to Weyl group orbits of locally finite and locally affine root systems. In the locally affine case, we also derive some applications on minimizing linear functionals on Weyl group orbits.

研究动机与目标

• 理解在局部有限与局部仿射李代数的酉表示理论背景下，威尔群轨道凸包的结构。
• 利用线性考克斯eter系统，将有限与仿射考克斯eter群的结果推广至无穷维情形。
• 在局部仿射情形下表征d-极小权，特别是针对七种不可约类型。
• 分析仿射威尔群轨道上线性泛函的最小化问题，尤其关注根系的洛伦兹几何结构。
• 根据有界性与根系参数，对d-极小泛函进行完整分类。

提出的方法

• 利用满足(LCS1)–(LCS3)条件的有限维实向量空间上的反射数据，定义线性考克斯eter系统，从而定义蒂茨锥 T = WK。
• 对 v ∈ T，建立包含关系 Wv ⊆ v − Cv，其中 Cv = cone{ˇα : α(v) > 0}，利用正性与长度函数关系。
• 通过在余根系统对偶锥上限制，将结果对偶化至对偶空间 V*，从而可应用于权轨道。
• 通过有限与仿射威尔群的直接极限，将主凸性定理应用于局部有限与局部仿射根系。
• 利用仿射威尔群作为半直积 N ⋊ W 的结构，其中 N 通过单峰等距作用于洛伦兹形式。
• 通过公式 (cWλ)(d) = {λc‖x‖²/2 + λ(x) + λd : x ∈ T} 分析轨道上 d-值的最小化，将其约化为在无穷维格点上最小化二次型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，威尔群轨道的凸包包含于余根锥的平移之中？
• RQ2 如何仅通过群作用与根系数据表征蒂茨锥中轨道的凸包？
• RQ3 d-极小权在局部仿射情形下由什么特征刻画，其与泛函有界性的关系为何？
• RQ4 在仿射威尔群作用下，轨道何时包含最小 d-值？何种条件可确保其从下方有界？
• RQ5 仿射威尔群作为半直积的结构如何帮助最小化轨道上线性泛函？

主要发现

• 对任意 v ∈ T，有 Wv ⊆ v − Cv，其中 Cv 为满足 α(v) > 0 的余根 ˇα 生成的凸锥。
• Wv 的凸包完全由 W 对 v 的作用决定，不依赖于轨道结构的其他细节，仅取决于群作用。
• 在局部有限情形下，d-极小权存在，且由泛函 λ: J → R 的有界性表征。
• 对七种不可约局部仿射根系，λ = (λc, λ, λd) 的 d-极小性等价于涉及 max λ − min λ 与 |λj|、|λj ± λk| 相对于 λc 的不等式组。
• 在未扭情形（X(1)J），d-极小性简化为 max λ − min λ ≤ λc；而在扭情形下，需附加约束如 |λj| + |λk| ≤ λc 或 |λj| ≤ λc/2。
• 存在泛函 λ，使得 (cWλ)(d) 从下方有界但不包含最小值，反例为 λ2k−1 = 1 + 1/k² 且在 λ 上具有紧支集。