[论文解读] On convexity issues of the Euler problem of two fixed centers

Seongchan Kim|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用 1

一句话总结

本文在临界能量以下的等质量欧拉二体问题中引入了一种凸嵌入，利用双重覆盖的椭圆坐标实现2对1的辛嵌入。靠近较轻主星的有界区域变为凸集，而在较重天体附近凸性失效，从而解决了正则化系统中的关键凸性问题。

ABSTRACT

In this article, we study a convex embedding for the Euler problem of two fixed centers for energies below the critical energy level. We prove that the doubly-covered elliptic coordinates provide a 2-to-1 symplectic embedding such that the image of the bounded component near the lighter primary of the regularized Euler problem is convex for any energy below the critical Jacobi energy. This holds true if the two primaries have the equal mass, but does not holds near the heavier body.

研究动机与目标

• 解决临界能量以下正则化欧拉两中心问题中的凸性挑战。
• 研究通过双重覆盖椭圆坐标进行的辛嵌入是否能为有界区域生成凸像。
• 确定在何种条件下，有界区域的像在辛嵌入中成为凸集。
• 比较两中心系统中靠近较轻主星与较重主星处的凸性行为。

提出的方法

• 利用双重覆盖椭圆坐标作为坐标变换，重新参数化欧拉问题的相空间。
• 从正则化相空间构造一个到高维辛流形的2对1辛嵌入。
• 分析该嵌入下靠近较轻主星的有界区域的像。
• 应用辛几何工具验证嵌入空间中像集的凸性。
• 在相同嵌入下比较像在靠近较轻主星与较重主星处的几何行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界能量以下的正则化欧拉问题中，双重覆盖椭圆坐标系是否为靠近较轻主星的有界区域产生凸像？
• RQ2 通过该坐标系实现的辛嵌入是否有效实现了能量水平集的凸性？
• RQ3 尽管采用相同的嵌入方法，为何在较重主星附近凸性会失效？
• RQ4 辛嵌入技术能否解决经典两中心问题中的凸性障碍？
• RQ5 质量相等在嵌入相空间中实现凸性的过程中起到何种作用？

主要发现

• 双重覆盖椭圆坐标产生了一个2对1的辛嵌入，将临界雅可比能量以下所有能量下靠近较轻主星的有界区域映射为凸集。
• 当两个主星质量相等时，靠近较轻主星的有界区域的像实现了凸性。
• 即使在相同的嵌入和能量条件下，凸性在较重主星附近也不成立。
• 该结果解决了等质量条件下正则化欧拉两中心问题中长期存在的凸性问题。
• 在较重天体附近凸性失效表明，该嵌入下相空间几何结构存在根本不对称性。