[论文解读] On convolution groups of completely monotone sequences/functions and fractional calculus

Lei Li, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2016

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文通过卷积群框架，将Caputo导数推广至局部可积函数，包括在有限时间内爆破的函数。通过基于分布和完全单调核的分数阶微积分，建立了群结构，确保在 t > 0 时与Riemann-Liouville微积分一致，同时在最弱条件下实现分数阶ODE和PDE的广义Gronwall不等式与稳健的能量估计。

ABSTRACT

We extend in this paper the definition of Caputo derivatives of order in $(0,1)$ to a certain class of locally integrable functions using a convolution group. Our strategy is to define a fractional calculus for a certain class of distributions using the convolution group. When acting on causal functions, this fractional calculus agrees with the traditional Riemann-Liouville definition for $t>0$ but includes some singularities at $t=0$ so that the group property holds. Then, making use of this fractional calculus, we introduce the generalized definition of Caputo derivatives. The new definition is consistent with various definitions in literature while reveals the underlying group structure. Since the new definition is valid for a class of locally integrable functions that can blow up in finite time, it provides a framework for solutions to fractional ODEs and fractional PDEs with very weak conditions. The underlying group property makes many properties of Caputo derivatives natural. In particular, it allows us to de-convolve the fractional differential equations to integral equations with completely monotone kernels, which then enables us to prove the general Gronwall inequality (or comparison principle) with the most general conditions. This then provides the essential tools for {\it a priori} energy estimates of fractional PDEs. Some other fundamental results for fractional ODEs are also established within this frame under very weak conditions.

研究动机与目标

• 将(0,1)阶Caputo导数扩展至可能在有限时间内爆破的更广类局部可积函数。
• 通过分布的卷积群结构建立分数阶微积分框架，确保群结构的一致性。
• 统一并推广现有的Caputo导数定义，同时保持群性质等基本性质。
• 实现分数阶微分方程的去卷积，转化为具有完全单调核的积分方程。
• 为分数阶PDE在最小正则性条件下提供先验能量估计与比较原理的基础。

提出的方法

• 通过卷积群结构定义分布的分数阶微积分，确保群性质成立。
• 通过该卷积群构造广义Caputo导数，将经典定义扩展至在 t = 0 处具有奇点的函数。
• 在 t > 0 时与Riemann-Liouville定义保持一致，同时容纳弱可积的因果函数。
• 利用群结构将分数阶微分方程去卷积为具有完全单调核的积分方程。
• 利用核结构在最一般条件下证明广义Gronwall不等式。
• 在函数正则性假设最小的条件下，利用该框架建立分数阶ODE的基本结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将(0,1)阶Caputo导数一致地扩展至可能在有限时间内爆破的局部可积函数？
• RQ2 卷积群在构建保持分数阶导数群性质的分数阶微积分中起什么作用？
• RQ3 所提出的框架如何实现分数阶微分方程的广义Gronwall不等式？
• RQ4 群结构在弱正则性条件下如何简化分数阶ODE和PDE的分析？
• RQ5 新定义能否统一现有Caputo导数定义，同时为能量估计提供更强的分析工具？

主要发现

• 广义Caputo导数被定义于一类广泛的局部可积函数上，包括在有限时间内爆破的函数，扩展了经典框架。
• 基于卷积群的分数阶微积分框架确保了群性质，简化了分数阶微分方程的分析。
• 该方法允许将分数阶微分方程去卷积为具有完全单调核的积分方程，从而实现广义比较原理。
• 在最一般条件下建立了广义Gronwall不等式，为分数阶PDE的先验能量估计提供了关键工具。
• 该框架在最小正则性假设下支持分数阶ODE的基本结果，增强了分数阶微积分的应用性。