[论文解读] On corners scattering stably and stable shape determination by a single far-field pattern

Emilia Blåsten, Hongyu Liu|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2016

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用 48

一句话总结

本文建立了基于单个远场图样的反声散射问题的精确定量稳定性估计。证明了具有多边形或多面体形状的穿透性介质散射体的支撑可实现对数型稳定恢复，并表明散射体边界上的角点会产生散射远场能量的正下界，从而排除了使用含角点的各向同性材料实现稳定隐身斗篷的可能性。

ABSTRACT

In this paper, we establish two sharp quantitative results for the direct and inverse time-harmonic acoustic wave scattering. The first one is concerned with the recovery of the support of an inhomogeneous medium, independent of its contents, by a single far-field measurement. For this challenging inverse scattering problem, we establish a sharp stability estimate of logarithmic type when the medium support is a polyhedral domain in $\mathbb{R}^n$, $n=2,3$. The second one is concerned with the stability for corner scattering. More precisely if an inhomogeneous scatterer, whose support has a corner, is probed by an incident plane-wave, we show that the energy of the scattered far-field possesses a positive lower bound depending only on the geometry of the corner and bounds on the refractive index of the medium there. This implies the impossibility of approximate invisibility cloaking by a device containing a corner and made of isotropic material. Our results sharply quantify the qualitative corner scattering results in the literature, and the corresponding proofs involve much more subtle analysis and technical arguments. As a significant byproduct of this study, we establish a quantitative Rellich's theorem that continues smallness of the wave field from the far-field up to the interior of the inhomogeneity. The result is of significant mathematical interest for its own sake and is surprisingly not yet known in the literature.

研究动机与目标

• 建立从单个远场测量中恢复穿透性非均匀介质支撑的精确稳定性估计。
• 通过证明散射体具有角点时远场能量存在正下界，对定性角点散射现象进行量化。
• 证明使用含角点的各向同性材料无法实现稳定隐身斗篷。
• 提出一种新的定量Rellich型定理，将远场的小性扩展至散射体内部。
• 为角点散射的稳定性及其在反散射与隐身斗篷中的影响提供严格的数学基础。

提出的方法

• 利用具有紧台支集势的Helmholtz方程来建模时谐声散射。
• 应用Sommerfeld辐射条件，将远场图样定义为单位球面上的散射振幅。
• 采用一种新颖的定量Rellich型定理，将远场的小性传播至非均匀体内部。
• 通过几何分析与凸性论证，基于远场图样差异，对两个散射体支撑之间的Hausdorff距离进行有界。
• 通过分析角点的几何结构及折射率的有界性，推导出具有角点的散射体远场能量的正下界。
• 应用微局部分析与定量唯一延拓技术，建立对数型稳定性估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从单个远场图样稳定恢复穿透性声散射体的形状（支撑）？
• RQ2 在单个远场测量条件下，反形状确定问题的定量稳定性估计是什么？
• RQ3 散射体边界上存在角点是否会导致稳定且非零的远场响应？
• RQ4 含角点的各向同性材料能否实现近似隐身斗篷？
• RQ5 保证散射远场能量存在正下界的最小几何条件是什么？

主要发现

• 建立了从单个远场图样恢复二维多边形或三维长方体穿透性散射体支撑的精确对数稳定性估计。
• 该稳定性估计为双对数型，即支撑之间的Hausdorff距离被远场图样误差的双对数函数所有界。
• 证明了当散射体支撑具有角点时，散射远场图样的能量存在正下界，该下界仅依赖于角点几何结构及折射率的有界性。
• 该下界意味着含角点的各向同性散射体无法实现稳定隐身，从而排除了使用此类材料实现近似隐身斗篷的可能性。
• 提出了一种新的定量Rellich型定理，表明远场中波场的小性可推出非均匀体内部的小性。
• 本研究首次在文献中提供了定性角点散射现象的定量版本，且对角点角度具有精确的几何依赖性。