[论文解读] On correspondences of a K3 surface with itself. IV

Carlo Madonna, Viacheslav V. Nikulin|ArXiv.org|Jun 12, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文证明，对于一般的 K3 曲面 $X$ 满足 Picard 数 $\rho(X) \leq 2$，具有孤立 Mukai 向量 $(r,H,s)$ 的稳定层模空间 $Y = M_X(r,H,s)$ 同构于 $X$ 当且仅当存在一个同构 $Y \cong X$，该同构可表示为层模空间之间的一系列通用几何同构与 Tyurin 同构（将模空间同构于 $X$ 本身）的复合。该结果提供了一个几何的、有效的判定准则，无需依赖全局 Torelli 定理。

ABSTRACT

Let $X$ be a K3 surface with a polarization $H$ of the degree $H^2=2rs$, $r,s\ge 1$, and the isotropic Mukai vector $v=(r,H,s)$ is primitive. The moduli space of sheaves over $X$ with the isotropic Mukai vector $(r,H,s)$ is again a K3 surface, $Y$. In \cite{Nik2} the second author gave necessary and sufficient conditions in terms of Picard lattice $N(X)$ of $X$ when $Y$ is isomorphic to $X$ (some important particular cases were also considered in math.AG/0206158, math.AG/0304415 and math.AG/0307355). Here we show that these conditions imply existence of an isomorphism between $Y$ and $X$ which is a composition of some universal geometric isomorphisms between moduli of sheaves over $X$, and geometric Tyurin's isomorphsim between moduli of sheaves over $X$ and $X$ itself. It follows that for a general K3 surface $X$ with $ρ(X)= ext{rk\}N(X)\le 2$ and $Y\cong X$, there exists an isomorphism $Y\cong X$ which is a composition of the geometric universal and the Tyurin's isomorphisms. This generalizes our recent results math.AG/0605362 and math.AG/0606239 to a general case.

研究动机与目标

• 确定 K3 曲面 $X$ 上稳定层模空间 $Y = M_X(r,H,s)$ 何时同构于 $X$ 本身。
• 为这类同构提供一个几何的、有效的刻画，避免依赖全局 Torelli 定理。
• 证明对于一般的 K3 曲面满足 $\rho(X) \leq 2$，同构 $Y \cong X$ 唯一地由通用几何同构与 Tyurin 同构的复合构成。
• 阐明通用同构 $\nu(d_1,d_2)$、$T_D$、$\delta$ 以及 Tyurin 同构 $Tyu$ 在同构 $Y \cong X$ 中的作用。

提出的方法

• 利用满足 $H^2 = 2rs$ 且为本原的 Mukai 向量 $v = (r,H,s)$ 定义模空间 $Y = M_X(r,H,s)$，已知该模空间本身是一个 K3 曲面。
• 应用层模空间之间的通用同构 $\nu(d_1,d_2)$、$T_D$ 和 $\delta$，这些同构通过 Chern 类与除子的几何操作定义。
• 通过特定除子类 $\widetilde{h}_1$（满足 $\widetilde{h}_1^2 = \pm 2b_1c$ 或 $\pm 2a_1c$）构造 Tyurin 同构 $Tyu$，将一个层模空间同构于 $X$ 本身。
• 将这些同构复合：$Tyu \circ T_D \circ \nu(1,d_2) \circ \delta \circ \nu(d_a,d_b)^{-1}$ 或 $Tyu \circ T_D \circ \nu(1,d_2) \circ \nu(d_a,d_b)^{-1}$，从而得到 $Y \cong X$。
• 利用 Picard 晶格 $N(X)$ 与超越晶格 $T(X)$ 推导 $Y \cong X$ 的必要与充分条件，特别是通过不变量 $n(v) = (r,s,d\gamma)$。
• 证明对于一般的 $X$ 满足 $\rho(X) \leq 2$，此类复合存在的条件既是 $Y \cong X$ 的必要条件也是充分条件，利用 $v$ 的本原性与 $\widetilde{H} = H/d$ 的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何条件下，K3 曲面 $X$ 上稳定层模空间 $Y = M_X(r,H,s)$ 同构于 $X$ 本身？
• RQ2 是否可以显式地使用几何同构构造同构 $Y \cong X$，而无需依赖全局 Torelli 定理？
• RQ3 Tyurin 同构以及通用同构 $\nu(d_1,d_2)$、$T_D$ 和 $\delta$ 在构造 $Y \cong X$ 中起什么作用？
• RQ4 对于一般的 K3 曲面 $X$ 满足 $\rho(X) \leq 2$，此类同构复合的存在性是否既是 $Y \cong X$ 的必要条件也是充分条件？
• RQ5 不变量 $n(v) = (r,s,d\gamma)$、$\gamma$ 以及 $\gamma_{a}, \gamma_{b}, \gamma_2$ 如何与同构 $Y \cong X$ 相关联？

主要发现

• 对于一般的 K3 曲面 $X$ 满足 $\rho(X) \leq 2$，$Y = M_X(r,H,s)$ 同构于 $X$ 当且仅当存在一个同构 $Y \cong X$，该同构为通用几何同构 $\nu(d_1,d_2)$、$T_D$、$\delta$ 与 Tyurin 同构 $Tyu$ 的复合。
• 同构 $Y \cong X$ 显式构造为 $Tyu(\pm\widetilde{h}_1) \circ T_D \circ \nu(1,d_2) \circ \delta \circ \nu(d_a,d_b)^{-1}$ 或 $Tyu(\pm\widetilde{h}_1) \circ T_D \circ \nu(1,d_2) \circ \nu(d_a,d_b)^{-1}$，具体取决于 $\widetilde{h}_1^2$ 的符号。
• 当 $X$ 是一般的且满足 $\rho(X) \leq 2$ 时，此类复合存在的条件既是 $Y \cong X$ 的必要条件也是充分条件，意味着同构完全由这一几何构造所刻画。
• 尽管同构 $\nu(d_1,d_2)$ 尚未完全几何化构造，但其为通用同构，通过模空间上的基变换定义，且在复合中至关重要。
• Tyurin 同构 $Tyu$ 以及同构 $T_D$、$\delta$ 和 $\nu(d_1,d_2)$ 具有普遍重要性：它们足以解决所有满足 $\rho(X) \leq 2$ 的一般 K3 曲面的同构问题 $Y \cong X$。
• 条件 $n(v) = (r,s,d\gamma) = 1$ 对于 $Y \cong X$ 是必要的，且在 $X$ 满足一般位置假设时，结合指定同构复合的存在性，该条件也是充分的。