[论文解读] On $α$-covariance, long, short and negative memories for sequences of random variables with infinite variance

Vygantas Paulauskas|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 8

一句话总结

本文引入并扩展了 $\alpha$-协方差的概念，作为在方差无限的随机过程中（特别是 $\alpha$-稳定分布和慢变分布）对经典协方差的替代方法。它将 $\alpha$-协方差应用于线性过程、稳定场和无限可分过程，展示了其在传统协方差失效的重尾设定下定义长记忆、短记忆和负记忆性质的实用性。

ABSTRACT

We consider a measure of dependence for symmetric $α$-stable random vectors, which was introduced by the author in 1976. We demonstrate that this measure of dependence can be extended for much more broad class of random vectors (up to regularly varying vectors in separable Banach spaces). This measure is applied for linear random processes and fields with heavy-tailed innovations, for some stable processes, and these applications show that this dependence measure, named as $α$-covariance is a good substitute for the usual covariance. Also we discuss a problem of defining long, short, and negative memories for stationary processes and fields with infinite variances.

研究动机与目标

• 将 $\alpha$-协方差度量从原始定义的对称 $\alpha$-稳定向量扩展到更广泛的随机向量类，包括可分巴拿赫空间中的慢变向量。
• 在缺乏二阶矩的情况下，建立 $\alpha$-协方差作为经典协方差的可行替代，特别针对具有重尾噪声的线性过程和稳定场。
• 利用 $\alpha$-协方差定义并表征具有无限方差的平稳过程和场的长记忆、短记忆及负记忆性质。
• 探讨 $\alpha$-协方差与其他依赖度量（如协差分和 Lévy 测度）在无限可分过程中的联系。

提出的方法

• 通过可分巴拿赫空间中 $\alpha$-稳定随机向量的谱测度定义 $\alpha$-协方差，推广原始 1976 年的公式。
• 将 $\alpha$-协方差应用于具有独立同分布重尾噪声的线性过程，通过滤波器系数和谱测度推导其形式。
• 通过基于 Lévy 测度 $Q$ 定义 $Q$-协方差，将该概念扩展到无限可分过程，类似于 $\alpha$-协方差在稳定向量中的作用。
• 利用协差分函数和 $\alpha$-协方差函数分析无限可分过程中的混合性和遍历性。
• 建立 $\alpha$-协方差在无穷远处趋于零的条件，作为混合性的必要条件，并将其与 Lévy 测度的结构联系起来。
• 提出一个基于 $\alpha$-协方差函数衰减行为和符号特征的框架，用于在无限方差设定下对记忆类型（长、短、负）进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 $\alpha$-协方差一致地扩展到对称 $\alpha$-稳定向量之外的更广类随机向量，如巴拿赫空间中的慢变向量？
• RQ2 在具有无限方差的平稳过程中，$\alpha$-协方差如何实现长记忆、短记忆和负记忆的定义与分类？
• RQ3 在无限可分过程中，$\alpha$-协方差与其他依赖度量（如协差分和 Lévy 测度）之间存在何种关系？
• RQ4 在平稳无限可分过程中，$\alpha$-协方差在无穷远处趋于零的条件在何种情况下可推出混合性？
• RQ5 在涉及无限方差过程的理论与应用设定中，$\alpha$-协方差在多大程度上可作为经典协方差的功能替代？

主要发现

• $\alpha$-协方差度量可扩展至 $d$-维对称 $\alpha$-稳定向量，并进一步推广至可分巴拿赫空间中的慢变向量，显著拓宽了其理论适用范围。
• 对于具有重尾噪声的线性过程，$\alpha$-协方差提供了反映滤波器结构的有意义依赖度量，类似于经典协方差的作用。
• $\alpha$-协方差函数的衰减方式允许根据衰减速率和符号对记忆性质（长、短或负记忆）进行分类，即使二阶矩不存在亦可实现。
• 在无高斯分量的无限可分过程中，定义了基于 Lévy 测度 $Q$ 的 $Q$-协方差，并表明其与协差分相关；$\alpha$-协方差在无穷远处趋于零是混合性的必要条件。
• $\alpha$-协方差框架为无限方差时间序列中的依赖分析提供了一致且可解释的工具，在 $L_2$ 理论中为经典协方差提供了一个可行的替代方案。