[论文解读] On covariant phase space methods

B. Juliá, Sebastián Silva|ArXiv.org|May 8, 2002

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用 22

一句话总结

本文通过直接从运动方程而非拉格朗日量构造新的、无歧义的协变辛形式，为场论提出了一种新的协变辛形式，消除了标准诺特定基方法中固有的规范依赖性歧义。该方法采用含辅助场的一阶形式来定义协变哈密顿量与辛结构，当应用新规定时，能一致地通过协变辛方法与Regge-Teitelboim方法重现守恒荷。

ABSTRACT

It is well known that the Lagrangian and the Hamiltonian formalisms can be combined and lead to "covariant symplectic" methods. For that purpose a "pre-symplectic form" has been constructed from the Lagrangian using the so-called Noether form. However, analogously to the standard Noether currents, this symplectic form is only determined up to total divergences which are however essential ingredients in gauge theories. We propose a new definition of the symplectic form which is covariant and free of ambiguities in a general first order formulation. Indeed, our construction depends on the equations of motion but not on the Lagrangian. We then define a generalized Hamiltonian which generates the equations of motions in a covariant way. Applications to Yang-Mills, general relativity, Chern-Simons and supergravity theories are given. We also consider nice sets of possible boundary conditions that imply the closure and conservation of the total symplectic form. We finally revisit the construction of conserved charges associated with gauge symmetries, from both the "covariant symplectic" and the "covariantized Regge-Teitelboim" points of view. We find that both constructions coincide when the ambiguity in the Noetherian pre-symplectic form is fixed using our new prescription. We also present a condition of integrability of the equations that lead to these quantities.

研究动机与目标

• 解决诺特基前辛形式中长期存在的歧义问题，该形式在规范理论中仅定义到全微分项的差异。
• 发展一种不依赖拉格朗日量、而直接从运动方程构建的协变相空间形式。
• 定义一个广义哈密顿密度，以协变方式生成动力学，避免对时空的正则分解。
• 在适当选择的边界条件下，确保辛形式的闭合性与守恒性。
• 在新规定下，统一协变辛方法与Regge-Teitelboim方法对守恒荷的处理，证明二者等价。

提出的方法

• 引入辅助场，将任意场论重写为一阶形式，使运动方程中至多含一个时空导数。
• 定义一种仅依赖于运动方程且明显协变的新辛密度，避免对拉格朗日量或其变分的依赖。
• 构造一个广义哈密顿密度，通过类似泊松括号的协变结构生成运动方程，类似于 $ \partial_t q^i = \{H, q^i\} $。
• 使用紧凑的微分形式记法，结合无限维场配置空间上的 $ \delta $-导数，处理变分与辛结构。
• 将该方法应用于杨-米尔斯理论、广义相对论、陈-西蒙斯理论及十一维超引力，与标准诺特方法结果进行比较。
• 通过分析辛形式在边界分量上的闭合性，推导守恒荷泛函可积性的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不产生诺特当前构造中全微分项歧义的前提下，定义无歧义的协变辛结构？
• RQ2 能否直接从运动方程构造辛形式，而独立于拉格朗日量，同时保持协变性？
• RQ3 新辛形式是否对规范对称性产生一致且无歧义的守恒荷？
• RQ4 在何种边界条件下，辛形式能闭合并保持守恒？
• RQ5 当诺特形式的歧义被新规定消除时，新方法是否与Regge-Teitelboim方法对守恒荷的处理等价？

主要发现

• 所提出的辛形式无歧义，因其仅依赖于运动方程，而非拉格朗日量或其变分。
• 当通过新规定消除歧义时，该方法成功重现了标准诺特前辛形式，解决了先前的不一致性。
• 广义哈密顿密度以协变方式生成动力学，为协变时空框架下哈密顿演化方程提供了直接类比。
• 在杨-米尔斯理论、引力、陈-西蒙斯理论及超引力中，新方法产生的辛结构一致，且在消除歧义后与已知结果相符。
• 当辛形式在边界上闭合时，守恒荷的可积性条件得以满足，且该条件简化为涉及 $ \hat{\omega}^\mu_{ij} $ 的拓扑约束。
• 当使用新辛形式时，协变辛方法与Regge-Teitelboim方法对守恒荷的处理被证明等价，解决了长期悬而未决的开放问题。