[论文解读] On Covering a Graph Optimally with Induced Subgraphs

Shripad Thite|ArXiv.org|Apr 6, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文研究了使用 k 个诱导子图最优覆盖图以最小化任意子图最大大小的问题，证明其为 NP-完全问题，并针对特定图类提供了近似算法。该方法基于顶点排序与邻域大小，实现 (c+1)-近似，对森林为 2-近似，对外平面图和平面图为 3-和 6-近似。

ABSTRACT

We consider the problem of covering a graph with a given number of induced subgraphs so that the maximum number of vertices in each subgraph is minimized. We prove NP-completeness of the problem, prove lower bounds, and give approximation algorithms for certain graph classes.

研究动机与目标

• 解决使用 k 个诱导子图覆盖图的问题，以最小化任意子图中的顶点数最大值。
• 通过从强 NP-完全的 3-Partition 问题约化，证明该问题即使在森林上也是 NP-完全的。
• 建立下界并为具有有界邻域大小或分隔定理的图类开发近似算法。
• 探讨对偶问题：在每个子图大小固定的最大值下，最小化诱导子图的数量。
• 将框架推广至超图，其中每个超边要求其所有顶点必须存储在单个子图中。

提出的方法

• 通过构建一组不相交路径的森林（每条路径的长度对应于 3-Partition 实例中的一个整数），将 3-Partition 问题约化为图覆盖问题。
• 提出一种贪心算法：对顶点进行排序，并将每个顶点分配给一个子图，同时将其索引更高的邻居一并包含，以确保边被覆盖。
• 推导出每个诱导子图大小的上界为 (c+1)⌈n/k⌉，其中 c 为排序中索引更高的邻居的最大数量。
• 将该算法应用于图类：对森林（c=1）实现 2-近似，对外平面图（c=2）实现 3-近似，对平面图（c=5）实现 6-近似。
• 对具有次线性分隔符的图使用基于递归分隔符的分解方法，将图划分为 A、B 和 C（分隔符），并在 A∪C 和 B∪C 上求解子问题。
• 通过要求每个超边必须完全包含在至少一个诱导子图中，将问题推广至超图，允许顶点出现在多个子集中。

实验结果

研究问题

• RQ1 使用 k 个诱导子图覆盖图以最小化最大子图大小的问题是否为 NP-完全？
• RQ2 能否基于顶点排序与邻域约束设计一个 (c+1)-近似算法？
• RQ3 对于森林、外平面图和平面图等特定图类，可实现的近似比是多少？
• RQ4 基于递归分隔符的方法在具有次线性分隔符的图类上表现如何？
• RQ5 对偶问题（在固定最大子图大小下最小化诱导子图数量）的复杂度与结构如何？

主要发现

• 通过从强 NP-完全的 3-Partition 问题的多项式时间约化，证明了问题 <span style="font-variant:small-caps">Cover(G,k)</span> 为 NP-完全。
• 开发了 (c+1)-近似算法，其中 c 为顶点排序中索引更高的邻居的最大数量，对森林实现 2-近似。
• 对外平面图，该算法实现 3-近似；对平面图，实现 6-近似，基于邻域大小的有界性。
• 基于递归分隔符的算法为具有次线性分隔符的图类（如平面图和外平面图）提供了接近最优的解。
• 对偶问题（在固定最大大小下最小化诱导子图数量）也通过相同约化被证明为 NP-完全。
• 该框架可推广至超图，其中每个超边必须完全包含在至少一个诱导子图中，若需要，允许多个子图覆盖同一超边。