[论文解读] On critical and supercritical pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equations

Woocheol Choi, Younghun Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文建立了伪相对论性非线性薛定谔方程在 $ H^{1/2} $-临界和超临界非线性项下非平凡解的存在与非存在性准则。通过在非相对论极限（$ c \to \infty $）下的微扰方法，以及在延拓问题中使用庞佐亚夫类型恒等式，证明了当 $ \frac{n+1}{n-1} \leq p < \frac{n+2}{n-2} $ 且 $ mc^2 \geq \kappa_0 \mu $ 时存在非平凡解；而在极端相对论区域或当非线性项为 $ H^1 $-临界/超临界时，不存在有界非平凡解。

ABSTRACT

In this paper, we investigate existence and non-existence of a nontrivial solution to the pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equation $$\left( \sqrt{-c^2Δ+ m^2 c^4}-mc^2 ight) u + μu = |u|^{p-1}u\quad extrm{in}~\mathbb{R}^n~(n \geq 2)$$ involving an $H^{1/2}$-critical/supercritical power-type nonlinearity, i.e., $p \geq \frac{n+1}{n-1}$. We prove that in the non-relativistic regime, there exists a nontrivial solution provided that the nonlinearity is $H^{1/2}$-critical/supercritical but it is $H^1$-subcritical. On the other hand, we also show that there is no nontrivial bounded solution either $(i)$ if the nonlinearity is $H^{1/2}$-critical/supercritical in the ultra-relativistic regime or $(ii)$ if the nonlinearity is $H^1$-critical/supercritical in all cases.

研究动机与目标

• 解决伪相对论性非线性薛定谔方程在 $ H^{1/2} $-临界和超临界非线性项下非平凡解的存在与非存在性这一开放问题。
• 确定相对论性区域（非相对论性与极端相对论性）以及非线性强度（$ p $）如何影响解的存在性。
• 将变分方法扩展至标准方法失效的 $ H^{1/2} $-亚临界范围之外。
• 在伪相对论性 NLS 与其非相对论性和极端相对论性极限之间建立严格的联系。

提出的方法

• 在非相对论极限（$ c \to \infty $）下采用微扰方法，构造靠近非相对论基态 $ u_\infty $ 的解。
• 利用延拓问题推导伪相对论算子的庞佐亚夫类型恒等式，从而实现非存在性证明。
• 在 $ u_\infty $ 的小邻域内应用压缩映射原理，证明唯一性与收敛速率。
• 建立收敛速率 $ \|u_c - u_\infty\|_{H^1 \cap W^{1,q}} = O(1/c) $（当 $ 1 < p \leq 2 $ 时），以及 $ O(1/c^2) $（当 $ p > 2 $ 时），在 $ c \to \infty $ 时成立。
• 将弱基态定义为在所有非平凡 $ H^1 \cap L^\infty $ 解中使作用泛函 $ I_c $ 最小化的解，即使在超临界区域也适用。
• 利用 $ H^1 \cap L^\infty $ 与 $ H^1 \cap W^{1,q} $（$ q > n $）之间范数等价性，确保在强拓扑下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非线性项为 $ H^{1/2} $-临界或超临界时，伪相对论性 NLS 是否存在非平凡解？
• RQ2 解的存在性如何依赖于相对论性区域——非相对论性（$ c \gg 1 $）与极端相对论性（$ m \ll 1 $）？
• RQ3 当 $ c \to \infty $ 时，非相对论基态能否被伪相对论方程的解逼近？
• RQ4 在非相对论区域构造的解在径向对称函数中是否唯一？
• RQ5 即使在 $ H^{1/2} $-超临界情形下，该解是否仍可作为弱意义下的基态进行解释？

主要发现

• 当 $ \frac{n+1}{n-1} \leq p < \frac{n+2}{n-2} $ 且 $ mc^2 \geq \kappa_0 \mu $ 时，存在非平凡解 $ u_c \in H^1_r \cap L^\infty $ 满足伪相对论性 NLS，其中 $ \kappa_0 \geq 1 $ 为一大常数。
• 若 $ p \geq \frac{n+1}{n-1} $ 且 $ mc^2 \leq \mu $，或 $ p \geq \frac{n+2}{n-2} $，则不存在非平凡有界解，无论 $ m, c, \mu $ 取值如何。
• 当 $ c \to \infty $ 时，解 $ u_c $ 收敛于非相对论基态 $ u_\infty $，收敛速率为 $ \|u_c - u_\infty\|_{H^1 \cap W^{1,q}} = O(1/c) $（当 $ 1 < p \leq 2 $ 时），以及 $ O(1/c^2) $（当 $ p > 2 $ 时）。
• 在 $ u_\infty $ 的小邻域内，解 $ u_c $ 在 $ H^1_r \cap L^\infty $ 的径向对称函数中唯一，通过压缩映射原理得证。
• 当 $ 1 < p < \frac{n+1}{n-1} $ 时，解 $ u_c $ 与唯一的正实径向基态重合，从而为 $ H^{1/2} $-亚临界情形下的唯一性提供了另一种证明。
• 作者猜想，在 $ H^{1/2} $-超临界范围 $ \frac{n+1}{n-1} < p < \frac{n+2}{n-2} $ 内构造的解 $ u_c $ 为弱基态，即在所有非平凡 $ H^1 \cap L^\infty $ 解中最小化作用泛函 $ I_c $。