[论文解读] On critical cardinalities related to $Q$-sets

Тарас Банах, Michał Machura+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 18被引用 10

一句话总结

本文研究了基数 $\tau_0$，其定义为 $\mathbb{R}$ 中非 $Q$-集的最小大小，确立了其在小不可数基数层次中的位置。通过力迫技术，作者证明了 $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$ 的一致性，其中 $\mathfrak{lr}$ 是线性精化数，并表明对于任意 $\mathfrak{q}_0$-灵活的 cccc $\sigma$-理想 $\mathcal{I}$，有 $\mathfrak{q}_0 \leq \mathrm{non}(\mathcal{I})$，从而推进了对集合论拓扑中 $Q$-集边界的认识。

ABSTRACT

In this note we collect some known information and prove new results about the small uncountable cardinal $\mathfrak q_0$. The cardinal $\mathfrak q_0$ is defined as the smallest cardinality $|A|$ of a subset $A\subset \mathbb R$ which is not a $Q$-set (a subspace $A\subset\mathbb R$ is called a $Q$-set if each subset $B\subset A$ is of type $F_σ$ in $A$). We present a simple proof of a folklore fact that $\mathfrak p\le\mathfrak q_0\le\min\{\mathfrak b,\mathrm{non}(\mathcal N),\log(\mathfrak c^+)\}$, and also establish the consistency of a number of strict inequalities between the cardinal $\mathfrak q_0$ and other standard small uncountable cardinals. This is done by combining some known forcing results. A new result of the paper is the consistency of $\mathfrak{p} &lt; \mathfrak{lr} &lt; \mathfrak{q}_0$, where $\mathfrak{lr}$ denotes the linear refinement number. Another new result is the upper bound $\mathfrak q_0\le\mathrm{non}(\mathcal I)$ holding for any $\mathfrak q_0$-flexible cccc $σ$-ideal $\mathcal I$ on $\mathbb R$.

研究动机与目标

• 收集并系统化关于基数 $\mathfrak{q}_0$ 的已知结果，即 $\mathbb{R}$ 中非 $Q$-集的最小大小，因其在关键参考文献最终版本中缺失。
• 澄清 $\mathfrak{q}_0$ 在小不可数基数层次中的位置，特别是相对于 $\mathfrak{p}$、$\mathfrak{b}$、$\mathrm{non}(\mathcal{N})$ 和 $\log(\mathfrak{c}^+)$ 的关系。
• 通过力迫构造，建立 $\mathfrak{q}_0$ 与其他标准小基数之间严格不等式的一致性，特别是 $\mathfrak{lr}$。
• 以二叉树 $2^{&lt;\omega}$ 中分支的弱分离族的形式，提供 $\mathfrak{q}_0$ 的刻画，将其与组合集合论联系起来。

提出的方法

• 通过二叉树 $2^{&lt;\omega}$ 中分支的几乎不相交族，推导出 $\mathfrak{q}_0$ 的新刻画，其中 $\mathfrak{q}_0$ 等于包含一个无法与其补集弱分离的子族的此类族的最小大小。
• 使用力迫迭代构造模型，使得 $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$，用 Dow 的力迫替代 Hechler 力迫，以保持强有限交性质并避免添加伪交集。
• 证明利用了 Dow 的结果：他的力迫无法向具有强有限交性质的族中添加伪交集，从而确保在迭代中 $\mathfrak{q}_0 \geq \lambda$。
• 作者应用已知的力迫结果，包括 Brendle 关于 $\mathfrak{dp}$ 和 $\mathfrak{ap}$ 的工作，将 $\mathfrak{q}_0$ 与其他基数不变量联系起来。
• 构造了一个满足 $\Diamond(2,=)$ 的模型，这意味着 $\mathfrak{q} = \omega_1$，因此该模型中不存在不可数的 $Q$-集，支持了 $\mathfrak{q}_0 > \omega_1$ 的一致性。
• 对于任意 $\mathfrak{q}_0$-灵活的 cccc $\sigma$-理想 $\mathcal{I}$，建立了上界 $\mathfrak{q}_0 \leq \mathrm{non}(\mathcal{I})$，推广了早期的界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 不等式 $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$ 是否与 ZFC 一致？
• RQ2 是否可以有 $\mathfrak{q}_0$ 严格大于 $\mathrm{cov}(\mathcal{M})$、$\mathfrak{e}$ 或 $\mathfrak{g}$？
• RQ3 $\mathfrak{q}_0$ 与 $\mathrm{non}(\mathcal{I})$ 之间的关系如何，其中 $\mathcal{I}$ 是 $\mathfrak{q}_0$-灵活的 cccc $\sigma$-理想？
• RQ4 $\mathfrak{q}_0 > \mathrm{cov}(\mathcal{M})$ 是否一致，如 Miller 所暗示？
• RQ5 在 Dow 的模型或其变体中，$\mathfrak{e}$ 和 $\mathfrak{g}$ 的值是多少？

主要发现

• 基数 $\mathfrak{q}_0$ 满足 $\mathfrak{p} \leq \mathfrak{q}_0 \leq \min\{\mathfrak{b}, \mathrm{non}(\mathcal{N}), \log(\mathfrak{c}^+)\}$，确认了其在小不可数基数层次中的位置。
• 通过使用 Dow 力迫而非 Hechler 力迫的力迫迭代，确立了 $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$ 的一致性，同时保持了强有限交性质。
• 证明了对于任意 $\mathfrak{q}_0$-灵活的 cccc $\sigma$-理想 $\mathcal{I}$，有 $\mathfrak{q}_0 \leq \mathrm{non}(\mathcal{I})$，为 $\mathfrak{q}_0$ 提供了新的上界。
• 所构造的模型满足 $\Diamond(2,=)$，这意味着 $\mathfrak{q} = \omega_1$，因此该模型中不存在不可数的 $Q$-集。
• 本文确认了 $\mathfrak{q}_0 = \mathfrak{b} < \mathfrak{e}$ 的一致性，如 Blass 的工作所示，并提出了一个开放问题：$\mathfrak{q}_0 > \mathrm{cov}(\mathcal{M})$ 是否一致。
• 本文通过二叉树中分支的弱分离族，提供了 $\mathfrak{q}_0$ 的刻画，将其与组合集合论以及 $\mathfrak{ap}$、$\mathfrak{dp}$ 联系起来。