[论文解读] On Critical Points of Random Polynomials and Spectrum of Certain Products of Random Matrices

Tulasi Ram Reddy Annapareddy|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文证明，当从两个具有相同极限测度的确定性序列中随机采样零点时，随机多项式零点与临界点的经验测度会收敛到相同的极限。此外，该研究进一步表明，具有±1指数的i.i.d. Ginibre矩阵乘积的特征值分布构成一个确定性点过程，推广了已知的k=2且符号相反或全为正指数的情况。

ABSTRACT

In the first part of this thesis, we study critical points of random polynomials. We choose two deterministic sequences of complex numbers, whose empirical measures converge to the same probability measure in complex plane. We make a sequence of polynomials whose zeros are chosen from either of sequences at random. We show that the limiting empirical measure of zeros and critical points agree for these polynomials. As a consequence we show that when we randomly perturb the zeros of a deterministic sequence of polynomials, the limiting empirical measures of zeros and critical points agree. This result can be interpreted as an extension of earlier results where randomness is reduced. Pemantle and Rivin initiated the study of critical points of random polynomials. Kabluchko proved the result considering the zeros to be i.i.d. random variables. In the second part we deal with the spectrum of products of Ginibre matrices. Exact eigenvalue density is known for a very few matrix ensembles. For the known ones they often lead to determinantal point process. Let X1, X2,..., Xk be i.i.d Ginibre matrices of size n ×n whose entries are standard complex Gaussian random variables. We derive eigenvalue density for matrices of the form X1 e1 X2 e2 ... Xk ek , where ei = ±1 for i =1,2,..., k. We show that the eigenvalues form a determinantal point process. The case where k =2, e1 +e2 =0 was derived earlier by Krishnapur. In the case where ei =1 for i =1,2,...,n was derived by Akemann and Burda. These two known cases can be obtained as special cases of our result.

研究动机与目标

• 研究通过从两个具有相同极限测度的确定性序列中随机采样零点所形成的随机多项式之临界点的经验极限分布。
• 通过将随机性假设从i.i.d.零点降低为经验测度收敛的确定性序列，推广先前关于随机多项式的研究结果。
• 推导具有±1指数的i.i.d. Ginibre矩阵乘积的精确特征值密度，推广已知情况。
• 证明此类矩阵乘积的特征值构成确定性点过程。

提出的方法

• 通过独立地从两个经验测度在复平面上收敛于同一概率测度的确定性序列中采样零点，构造随机多项式。
• 运用概率论与复分析技术分析临界点的极限分布，证明其收敛于与零点相同的测度。
• 将矩阵乘积建模为X₁^{e₁}X₂^{e₂}...Xₖ^{eₖ}，其中Xᵢ为i.i.d. Ginibre矩阵，且eᵢ = ±1。
• 利用随机矩阵理论与确定性点过程理论的工具，推导联合特征值密度。
• 通过识别其对应的核函数，验证所推导的特征值密度确实对应于一个确定性点过程。
• 确认已知特例——Krishnapur的k=2且e₁+e₂=0情形，以及Akemann-Burda的全正指数情形——可作为该更一般框架的极限情况被恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过从两个具有相同极限经验测度的确定性序列中采样零点所形成的随机多项式的临界点，其极限分布是否与零点相同？
• RQ2 当零点从一个确定性序列中随机扰动时，临界点的极限分布如何变化？
• RQ3 具有±1指数的k个i.i.d. Ginibre矩阵乘积的精确特征值密度为何？
• RQ4 此类矩阵乘积的特征值分布是否构成确定性点过程？
• RQ5 已知的k=2且e₁+e₂=0，以及所有eᵢ=1的情形，能否作为更一般框架下的特例被恢复？

主要发现

• 即使零点来自具有相同极限测度的两个确定性序列，随机多项式临界点的经验极限测度仍与零点的极限测度一致。
• 对确定性多项式序列的零点进行随机扰动，其临界点的经验极限测度保持不变，从而将Kabluchko的i.i.d.结果推广至随机性更低的设定。
• 对于具有i.i.d. Ginibre矩阵和eᵢ = ±1的矩阵乘积X₁^{e₁}X₂^{e₂}...Xₖ^{eₖ}，其特征值密度被明确推导。
• 此类矩阵乘积的特征值构成确定性点过程，其特征由特定的核函数刻画。
• 该结果推广了Krishnapur的情形（k=2，e₁+e₂=0）与Akemann-Burda的情形（所有eᵢ=1），二者均可作为特例被恢复。
• 所推导的特征值密度为随机矩阵理论中非平凡乘积系综提供了新的精确解。