[论文解读] On crystal ground state in the Schrödinger-Poisson model

Alexander Komech|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2013

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文通过单位胞能量最小化方法，在1D、2D和3D的弥散离子晶格中建立了Schrödinger-Poisson模型中空间周期性基态的存在性。证明了存在一个满足耦合Schrödinger方程与Poisson方程的定态、$̲$-周期解，并通过改进的泛函分析技术，严格处理了低维情况下的红外发散问题。

ABSTRACT

A space-periodic ground state is shown to exist for lattices of smeared ions in $\R^3$ coupled to the Schrödinger and scalar fields. The elementary cell is necessarily neutral. The 1D, 2D and 3D lattices in $\R^3$ are considered, and a ground state is constructed by minimizing the energy per cell. The case of a 3D lattice is rather standard, because the elementary cell is compact, and the spectrum of the Laplacian is discrete. In the cases of 1D and 2D lattices, the energy functional is differentiable only on a dense set of variations, due to the presence of the continuous spectrum of the Laplacian that causes the infrared divergence of the Coulomb bond. Respectively, the construction of electrostatic potential and the derivation of the Schrödinger equation for the minimizer in these cases require an extra argument. The space-periodic ground states for 1D and 2D lattices give the model of the nanostructures similar to the carbon nanotubes and graphene respectively.

研究动机与目标

• 在$\mathbb{R}^3$中，为Schrödinger-Poisson模型中弥散离子的晶格建立空间周期性基态的存在性。
• 解决1D和2D晶格中由于Laplacian具有连续谱而导致的Coulomb相互作用的红外发散问题。
• 通过单位胞能量最小化构造基态，确保单位胞的电中性。
• 为1D和2D情况提供电子波函数与静电势存在性与正则性的严格结果。
• 利用耦合Schrödinger-Poisson系统的周期解，对碳纳米管（1D）和石墨烯（2D）等纳米结构进行建模。

提出的方法

• 在$\mathbb{R}^3$中，针对$d$维离子晶格（$d=1,2,3$）建立Schrödinger-Poisson系统，采用单位胞$T_d$上的周期边界条件。
• 定义单位胞的能泛函，并在$M_1$中归一化波函数集合上最小化该泛函，以处理1D情况。
• 使用引理3.13的改进版本，通过将解分解为$\phi_1 + \phi_2$（其中$\phi_2 \in H^2$，$\phi_1$由光滑向量场的围道积分导出），构造静电势$\phi^0$。
• 应用Sobolev嵌入与基于$L^2$的估计，控制$\phi^0$的增长，证明在1D中满足界$|\phi^0(\mathbf{x})| \leq C(1 + |x_2| + |x_3|)^{1/2}$。
• 施加条件III：$\frac{\hat{\mu}^{\rm per}_1(0,\xi) + eZ_1}{|\xi|} \in L^2(D)$，其中$D = \{\xi \in \mathbb{R}^2 : |\xi| \leq 1\}$，以确保原点附近可积性。
• 通过Sobolev嵌入与逐步提升法，建立极小化子$\psi^0$的正则性，证明$\psi^0 \in H^2_{\rm loc}(T_1)$，且在离子密度为$C^\infty$时具有光滑性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Schrödinger-Poisson模型中，尽管存在红外发散，1D和2D弥散离子晶格是否仍存在空间周期性基态？
• RQ2 能量最小化方法能否推广至Laplacian具有连续谱的1D和2D晶格？
• RQ3 离子电荷密度需满足何种条件，才能保证1D和2D中静电势的存在性与有界性？
• RQ4 在1D中，静电势随距离的增长行为如何？所导出的界$|\phi^0(\mathbf{x})| \leq C(1 + |x_2| + |x_3|)^{1/2}$是否最优？
• RQ5 能否证明极小化子$\psi^0$在分布意义下满足定态Schrödinger-Poisson方程，并具备足够的正则性？

主要发现

• 在Schrödinger-Poisson模型中，1D、2D和3D的弥散离子晶格均存在基态，通过单位胞能量最小化方法构造。
• 单位胞必须保持电中性，即$\hat{\mu}^{\rm per}_1(0) + eZ_1 = 0$，以确保有限能量解的存在性。
• 在1D情况下，静电势满足$|\phi^0(\mathbf{x})| \leq C(1 + |x_2| + |x_3|)^{1/2}$，为次对数增长界。
• 极小化子$\psi^0$属于$H^2_{\rm loc}(T_1)$，并满足具有实有界势$\phi^0$的定态Schrödinger方程。
• 在条件$\mu_1^{\rm per} \in C^\infty(T_1)$下，解$\psi^0$与$\phi^0$均为光滑函数。
• 通过施加关于离子密度傅里叶变换低频行为的条件，该构造解决了1D和2D中的红外发散问题，确保了Coulomb相互作用的可积性。