[论文解读] On cubic equations over $P-$adic field

Farrukh Mukhamedov, B. A. Omirov+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2012

advanced mathematical theories参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文建立了在 p 进域 $\mathbb{Q}_p$、$\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Z}_p^*$ 上的缺项三次方程的可解性准则，表明经典 Cardano 方法在 p 进设置下并非普遍适用。本文基于 p 进赋值和模 $p$ 的剩余类条件，完整刻画了 p 进 Cardano 公式有效的所有情况，推广了 Serre 和 Sun 在 $\mathbb{F}_p$ 上的结果。主要贡献在于系统分类了 p 进背景下可解性及 Cardano 方法的适用性，给出了涉及勒让德符号和模 $p$ 乘法阶的显式条件。

ABSTRACT

We provide a solvability criteria for a depressed cubic equation in domains $\bz_p^{*},\bz_p,\bq_p$. We show that, in principal, the Cardano method is not always applicable for such equations. Moreover, the numbers of solutions of the depressed cubic equation in domains $\bz_p^{*},\bz_p,\bq_p$ are provided. Since $\bbf_p\subset\bq_p,$ we generalize J.-P. Serre's \cite{JPSJ} and Z.H.Sun's \cite{ZHS1,ZHS3} results concerning with depressed cubic equations over the finite field $\bbf_p$. Finally, all depressed cubic equations, for which the Cardano method could be applied, are described and the $p-$adic Cardano formula is provided for those cubic equations.

研究动机与目标

• 建立缺项三次方程在 p 进域 $\mathbb{Q}_p$、$\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Z}_p^*$ 上的完整可解性准则。
• 确定经典 Cardano 方法在 p 进设置下适用的条件，因为尽管某些方程有解，但该方法在 p 进域中可能不适用。
• 将 Serre 和 Sun 在有限域 $\mathbb{F}_p$ 上关于三次方程的结果推广到完整的 p 进域 $\mathbb{Q}_p$。
• 在特定赋值和剩余类条件下，推导出 p 进域中 Cardano 公式的类比形式。
• 根据 p 进性质，统计缺项三次方程在 $\mathbb{Z}_p^*$、$\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Q}_p$ 中的解的个数。

提出的方法

• 作者使用 p 进赋值 $|\cdot|_p$ 和 p 进阶 $\text{ord}_p(x)$ 分析方程 $x^3 + ax + b = 0$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 上的可解性。
• 根据 $|a|_p^3$ 与 $|b|_p^2$ 的相对大小，将分析分为三种主要情形：$|a|_p^3 < |b|_p^2$、$|a|_p^3 = |b|_p^2$ 和 $|a|_p^3 > |b|_p^2$。
• 对每种情形，推导出表达式 $\sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^3 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}} + \sqrt[3]{\frac{b}{2} - \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^3 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}}$ 在 $\mathbb{Q}_p$ 中定义良好的条件。
• Cardano 公式的有效性取决于某些表达式是否为 $\mathbb{Q}_p$ 中的完全平方或完全立方，通过勒让德符号条件和 Hensel 引理确定。
• 利用条件 $x^3 \equiv c \pmod{p}$ 可解性通过 $c^{(p-1)/\gcd(3,p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$ 来判断 $\mathbb{Q}_p$ 中的立方根。
• 通过分析系数的赋值和剩余类，基于 $\mathbb{Z}_p^*$、$\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Q}_p$ 中解集的结构，统计了解的个数。

实验结果

研究问题

• RQ1 缺项三次方程 $x^3 + ax + b = 0$ 在 $\mathbb{Q}_p$、$\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Z}_p^*$ 中可解的条件是什么？
• RQ2 经典 Cardano 方法在 $\mathbb{Q}_p$ 上解三次方程时何时适用？
• RQ3 三次方程的可解性如何依赖于系数 $a$ 和 $b$ 的 p 进赋值？
• RQ4 缺项三次方程在 $\mathbb{Z}_p^*$、$\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Q}_p$ 中的解的个数是多少？
• RQ5 如何将 Serre 和 Sun 在 $\mathbb{F}_p$ 上关于三次方程的结果推广到完整的 p 进域 $\mathbb{Q}_p$？

主要发现

• Cardano 方法在 $\mathbb{Q}_p$ 上并非普遍适用；存在具有解但其 Cardano 公式在 $\mathbb{Q}_p$ 中未定义的三次方程。
• p 进 Cardano 公式有效当且仅当满足关于 $a$ 和 $b$ 的 p 进赋值以及其首项系数模 $p$ 剩余类的特定条件。
• 对于情形 $|a|_p^3 < |b|_p^2$，当 $3 \mid \log_p |b|_p$ 且 $b_0^{(p-1)/\gcd(3,p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$ 时，公式有效。
• 对于 $|a|_p^3 = |b|_p^2$，在三种子情形下公式有效：$D=0$ 且 $(4b_0)^{(p-1)/\gcd(3,p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$；$0 < |D|_p < 1$ 且满足额外的勒让德符号与立方根条件；$|D|_p = 1$ 且涉及 $\Delta_0$ 的条件。
• 对于 $|a|_p^3 > |b|_p^2$，当 $2 \mid \log_p |a|_p$ 且 $(3a_0)^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod{p}$ 时公式有效，这确保了 $\frac{a}{3}$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 中的完全平方。
• 在 $\mathbb{Z}_p^*$、$\mathbb{Z}_p$ 和 $\mathbb{Q}_p$ 中的解的个数由赋值和剩余类条件显式确定，推广了在 $\mathbb{F}_p$ 上的早期结果。