[论文解读] On cubics and quartics through a canonical curve

Christian Pauly|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文通过秩-2向量丛与Kempf的同调障碍理论，构造了通过典范曲线的四次与三次超曲面族。证明了这些超曲面——特别是四次超曲面 $F_W$ 及其三次极化 $P_x(F_W)$ —— 以典范曲线为其基点纯量，从而通过高次方程提供了新的构造性Torelli型结果。

ABSTRACT

We construct families of quartic and cubic hypersurfaces through a canonical curve, which are parametrized by an open subset in a Grassmannian and a Flag variety respectively. Using G. Kempf's cohomological obstruction theory, we show that these families cut out the canonical curve and that the quartics are birational (via a blowing-up of a linear subspace) to quadric bundles over the projective plane, whose Steinerian curve equals the canonical curve.

研究动机与目标

• 通过秩-2向量丛构造典范曲线理想中显式的四次与三次超曲面族。
• 理解雅可比簇中在原点处重数 $\geq 4$ 的 $2\theta$-除子的切锥几何结构。
• 证明这些超曲面以典范曲线为其基点纯量，从而为Torelli定理提供新的构造性方法。
• 在典范嵌入的语境下，拓展切锥与高次切锥之间类比关系。

提出的方法

• 通过 $H^0(C, \omega)$ 中的3维平面 $W$，利用评价映射核的对偶，构造秩-2向量丛 $E_W$。
• 利用Kempf的同调障碍理论刻画雅可比簇 $JC$ 中 $D(E_W)$ 的原点处射影化切锥 $F_W$ 的点，从而在 $|\omega|^*$ 中得到一个四次超曲面。
• 针对 $x \in W^\perp$ 定义 $F_W$ 的三次极化 $P_x(F_W)$，得到一个包含典范曲线的三次超曲面。
• 对 $F_W$ 中的顶点 $\mathbb{P}W^\perp$ 进行爆破，将 $F_W$ 转化为 $\mathbb{P}^2$ 上的二次包丛，其Steiner曲线即为典范曲线。
• 利用格拉斯曼簇 $\mathrm{Gr}(3, H^0(\omega))$ 和旗簇 $\mathrm{Fl}(3,g-1,H^0(\omega))$ 的有理映射，分别参数化 $F_W$ 与 $P_x(F_W)$。
• 应用障碍理论准则（命题4.1），证明线性系统 $|F_4|$ 与 $|F_3|$ 的基点纯量恰好为典范曲线 $C$。

实验结果

研究问题

• RQ1 与典范曲线上秩-2向量丛相关的四次切锥 $F_W$ 是否以曲线为其基点纯量？
• RQ2 这些四次超曲面的三次极化 $P_x(F_W)$ 是否也能以典范曲线为其基点纯量？
• RQ3 四次切锥 $F_W$ 与theta除子的经典三次外接锥 $S_L$ 之间是否存在几何类比？
• RQ4 对一般亏格 $g$ 的曲线，线性系统 $|F_3|$ 与 $|F_4|$ 的维数是多少？
• RQ5 该构造能否推广至Prym-典范空间或更高阶辛丛？

主要发现

• 由四次超曲面 $F_W$ 生成的线性系统 $|F_4|$ 的基点纯量恰好为典范曲线 $C \subset |\omega|^*$，证实了van Geemen与van der Geer的猜想。
• 由三次极化 $P_x(F_W)$ 生成的线性系统 $|F_3|$ 的基点纯量同样与典范曲线 $C \subset |\omega|^*$ 重合，确立了高次方程的Torelli型结果。
• 在对顶点 $\mathbb{P}W^\perp$ 进行爆破后，四次超曲面 $F_W$ 转化为 $\mathbb{P}^2$ 上的二次包丛，其Steiner曲线即为典范曲线。
• 对一般 $g$，$|F_4|$ 的维数已知：当 $g = 4,5,6,7$ 时，$\dim|F_4| = 4, 15, 40, 88$，且 $|F_4| \neq |I(4)|$。
• 该构造可推广至Prym-典范空间与辛丛：对一般3维平面 $Z \subset H^0(C, \omega\alpha)$，在 $|\omega\alpha|^*$ 中存在一个四次超曲面 $F_Z$，其为 $2\Xi$-除子的切锥，且包含Prym-典范曲线。
• 对通过映射 $\Phi: \Lambda^2 W^* \to H^0(C, \omega)$ 定义的辛丛 $E_\Phi$，在原点处的切锥生成一个 $|\omega|^*$ 中的 $2n+2$ 次超曲面 $F_\Phi \in |I(2n+2)|$。