[论文解读] On Curves and Surfaces of Constant Width

Howard L. Resnikoff|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2015

Point processes and geometric inequalities参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文利用傅里叶级数分析等宽曲线与曲面，推导出新的几何性质与界限。证明了任意椭圆的周长等于其平均宽度的π倍，基于谐波结构建立了曲率界限，并表明Reuleaux曲线三角形的填充密度约为0.92288，超过圆的填充密度约0.9060，且推测此为所有等宽曲线中的最大值。

ABSTRACT

This paper focuses on curves and surfaces of constant width, with some additional results about general ovals. We emphasize the use of Fourier series to derive properties, some of which are known. Amongst other results, we show that the perimeter of an oval is $π$ times its average width, and provide a bound for the radius of curvature of an oval that depends on the structure of the harmonics in its Fourier series. We prove that the density of a certain packing of Reuleaux curved triangles in the plane is $$\frac{2 (π- \sqrt{3})}{\sqrt{15} + \sqrt{7} - 2 \sqrt{3}} \simeq 0.92288$$ which exceeds the maximum density for circles ($\simeq 0.9060$), and conjecture this is the maximum for any curve of constant width. For surfaces of constant width we show that $ ρ_0(P)+ ρ_1(Q)=w$ where the $ρ_i$ are the principal curvatures, $P$ and $Q$ are opposite points, and $w>0$ is the width. Moreover, an ovoid is a surface of constant width $w>0$ if and only if $ρ_{ m mean}(P)+ρ_{ m mean}(Q) = w$ where $ρ_{ m mean}(P)$ is the average radius of curvature at point $P$. Finally, we provide a Fourier series-based construction that produces arbitrarily many new surfaces of constant width.

研究动机与目标

• 利用傅里叶级数推导等宽曲线与曲面的几何性质，拓展经典结果。
• 基于其傅里叶展开中的谐波分量，建立椭圆曲率半径的定量界限。
• 研究等宽曲线可能达到的最大填充密度，特别是Reuleaux曲线三角形。
• 将Barbier定理推广至椭圆，并将曲率关系拓展至三维等宽曲面。
• 通过基于傅里叶的参数化方法构造新的等宽曲面。

提出的方法

• 使用曲线支撑函数p(t)的傅里叶级数表示，推导曲率与几何性质。
• 将椭圆的曲率半径表示为傅里叶谐波的函数，从而导出其最大曲率的不等式界限。
• 通过支撑函数的积分，证明椭圆的周长等于π倍平均宽度，从而推广Barbier定理。
• 对于等宽曲面，由微分几何与支撑函数参数化推导出对点P与Q处主曲率之和等于宽度w。
• 在球坐标系中调整体积公式，使用支撑函数r(t,u)，通过角度变换将体积元表示为t与u的函数。
• 通过为支撑函数选择特定的傅里叶级数形式，构造出新的等宽曲面，确保通过几何约束实现恒定宽度。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆的傅里叶谐波与其曲率半径之间有何关系？
• RQ2 椭圆的周长能否表示为π倍其平均宽度？该结果如何推广Barbier定理？
• RQ3 等宽曲线可能达到的最大填充密度是多少？Reuleaux曲线三角形是否达到该最大值？
• RQ4 在等宽曲面上，对点P与Q处的主曲率如何与宽度相关？
• RQ5 能否通过支撑函数的傅里叶级数系统地生成新的等宽曲面？

主要发现

• 任意椭圆的周长恰好等于其平均宽度的π倍，将Barbier定理推广至非圆形椭圆。
• 推导出依赖于傅里叶谐波振幅与频率的椭圆曲率半径界限，表达于公式(2.20)中。
• Reuleaux曲线三角形的填充密度计算为2(π−√3)/(√15+√7−2√3)≈0.92288，超过圆的填充密度≈0.9060。
• 在等宽曲面中，对点P与Q处主曲率之和等于宽度w，如公式(4.3)所示。
• 当且仅当对点P与Q处平均曲率半径之和等于w时，曲面为等宽曲面w。
• 本文通过支撑函数的傅里叶级数构造出无穷多新的等宽曲面，提供了一套系统生成此类曲面的方法。