[论文解读] On cycles in graphs with specified radius and diameter

P. HRNČIAR|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2012

Graph theory and applications参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文建立了图周长在半径 $ r $ 和直径 $ d $ 下的紧下界，证明了任何满足 $ d \leq 2r - 2 $ 的图都必须包含长度至少为 $ 4r - 2d $ 的环。该结果是紧的，通过构造显式图族（如太阳图 $ S_{4r-2d, d-r} $）实现该下界，适用于所有有效的 $ r $ 和 $ d $，从而解决了关于指定半径与直径图中环长度的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

Let $G$ be a graph of radius $r$ and diameter $d$ with $d\leq 2r-2$. We show that $G$ contains a cycle of length at least $4r-2d$, i.e. for its circumference it holds $c(G)\geq 4r-2d$. Moreover, for all positive integers $r$ and $d$ with $r\leq d\leq 2r-2$ there exists a graph of radius $r$ and diameter $d$ with circumference $4r-2d$.

研究动机与目标

• 解决关于指定半径与直径图中最小环长度的开放问题，特别是当 $ d \leq 2r - 2 $ 时。
• 在半径 $ r $ 与直径 $ d $ 的基础上，建立图周长 $ c(G) $ 的紧下界。
• 构造显式图族以实现 $ c(G) = 4r - 2d $，证明该下界的紧性。
• 推广关于测地线环与给定半径和直径的最小阶图的先前结果。

提出的方法

• 使用反证法，假设 $ c(G) < 4r - 2d $，并分析图中块与割点的结构。
• 根据最大偏心距顶点到中心块 $ B $ 的距离区分情况，考虑距离 $ a \leq r-1 $ 与 $ a \geq r $ 的情形。
• 分析利用测地线路径与环，特别关注若周长过小则会违反半径约束的顶点与路径。
• 采用太阳图 $ S_{m,k} $ 的概念，即满足度约束的单环图，以构造实现极值的图例。
• 通过迭代替换子图来简化图，导出矛盾，从而证明初始假设 $ c(G) < 4r - 2d $ 不可能成立。
• 极值图的构造使用 $ S_{4r-2d, d-r} $，即长度为 $ 4r - 2d $ 的环与 $ 4r - 2d $ 条长度为 $ d - r $ 的射线构成的太阳图，以证明该下界的紧性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于半径 $ r $ 与直径 $ d $ 满足 $ d \leq 2r - 2 $ 的图，其最小可能周长是多少？
• RQ2 能否在 $ r $ 与 $ d $ 的基础上建立图周长的紧下界？
• RQ3 是否存在实现该下界的极值图？若存在，其结构特性是什么？
• RQ4 该下界与已知的测地线环及最小阶图结果有何关联？

主要发现

• 本文证明，任何半径为 $ r $、直径 $ d \leq 2r - 2 $ 的图 $ G $，其周长 $ c(G) \geq 4r - 2d $。
• 下界 $ c(G) \geq 4r - 2d $ 是紧的，因为存在实现等号的图。
• 对于所有满足 $ r \leq d \leq 2r - 2 $ 的整数 $ r $ 与 $ d $，存在无穷多个半径为 $ r $、直径为 $ d $、周长为 $ 4r - 2d $ 的图。
• 其中一个极值图是当 $ d = r $ 时的环 $ C_{2r} $；当 $ d > r $ 时，太阳图 $ S_{4r-2d, d-r} $ 实现了该下界。
• 该结果意味着，半径为 $ r $ 且直径 $ d \leq 2r - 2 $ 的图必须包含长度至少为 4 的环，因为当 $ d \leq 2r - 2 $ 时，有 $ 4r - 2d \geq 4 $。
• 对于满足 $ c(G) \geq 2r $ 的图，其顶点数最多为 $ 3r - 2 $ 的结论被证明为最优，因为存在反例：顶点数为 $ 3r - 1 $ 且 $ c(G) = 2r - 1 $ 的图。