[论文解读] On cyclic codes over $\mathbb{Z}_q+u\mathbb{Z}_q$

Jian Gao, Fang‐Wei Fu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文研究了在环 $\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上的循环码，其中 $q = p^s$，$u^2 = 0$，且 $\gcd(n,q) = 1$。本文建立了此类码为环上自由码的充要条件，并推导出最小汉明距离的BCH型界。主要贡献在于通过 $x^n - 1$ 的首一因式对自由循环码进行了表征，从而实现了显式构造与大小计算。

ABSTRACT

Let $R=\mathbb{Z}_q+u\mathbb{Z}_q$, where $q=p^s$ and $u^2=0$. In this paper, some structural properties of cyclic codes over the ring $R$ are considered. A necessary and sufficient condition for cyclic codes over the ring $R$ to be free is obtained and a BCH-type bound on the minimum Hamming distance for them is also given.

研究动机与目标

• 研究有限非链环 $\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上循环码的结构性质，其中 $q = p^s$ 且 $u^2 = 0$。
• 确定 $R = \mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上循环码为 $R$-模自由的必要且充分条件。
• 为 $R$ 上的自由循环码建立最小汉明距离的BCH型界。
• 将 $\mathbb{Z}_4 + u\mathbb{Z}_4$ 上的结果推广至更广泛的环类 $\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$。

提出的方法

• 利用中国剩余定理将 $R$ 上奇数长度的循环码分解为 $R$ 的伽罗瓦扩张环的理想，从而实现计数。
• 应用Hensel引理将 $\mathbb{F}_p$ 上的不可约多项式提升为 $R$ 上的基本不可约多项式，确保 $x^n - 1$ 可唯一分解为两两互素的基本不可约因式。
• 将 $R$ 上循环码的生成元表征为 $R[x]/(x^n - 1)$ 中的理想，其生成元形式为 $f_0(x) + u f_1(x)$，其中 $f_0(x)$ 与 $f_1(x)$ 为 $\mathbb{Z}_q$ 上的多项式。
• 证明循环码 $\mathscr{C} = (g(x))$ 为 $R$-自由当且仅当 $g(x)$ 为首一多项式且在 $R[x]$ 中整除 $x^n - 1$，且标准单项基 $\{g(x), xg(x), \dots, x^{n - \deg(g) - 1}g(x)\}$ 构成 $R$-基。
• 利用环同态 $\overline{\cdot}: R \to \mathbb{F}_p$ 将 $\mathbb{F}_p$ 上的性质提升至 $R$，从而可应用有限域技术。
• 应用BCH型界：若 $g(x)$ 在 $R$ 的伽罗瓦扩张中具有 $\delta - 1$ 个连续根 $\xi^b, \xi^{b+1}, \dots, \xi^{b+\delta-2}$，则最小汉明距离满足 $d_H(\mathscr{C}) \geq \delta$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，$\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上的循环码是环 $R$ 上的自由模？
• RQ2 如何通过多项式除法与Hensel提升，显式表征 $R$ 上循环码的生成元？
• RQ3 $R$ 上自由循环码的最小汉明距离是多少？能否通过BCH型论证进行界定？
• RQ4 $R$ 上循环码的结构如何将 $\mathbb{Z}_4 + u\mathbb{Z}_4$ 上的已知结果推广至 $q = p^s$ 的 $\mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$？
• RQ5 能否从生成多项式确定 $R$ 上循环码的大小与基？

主要发现

• 在 $R = \mathbb{Z}_q + u\mathbb{Z}_q$ 上，循环码 $\mathscr{C}$ 为 $R$-自由当且仅当其由整除 $x^n - 1$ 的首一多项式 $g(x)$ 生成。
• 自由循环码 $\mathscr{C} = (g(x))$ 的大小为 $|\mathscr{C}| = q^{2(n - \deg(g(x)))}$，且集合 $\{g(x), xg(x), \dots, x^{n - \deg(g(x)) - 1}g(x)\}$ 构成 $R$-基。
• 若 $g(x)$ 在 $R$ 的伽罗瓦扩张中具有 $\delta - 1$ 个连续根 $\xi^b, \xi^{b+1}, \dots, \xi^{b+\delta-2}$，其中 $\xi$ 为基本本原 $n$ 次单位根，则自由循环码 $\mathscr{C} = (g(x))$ 的最小汉明距离满足 $d_H(\mathscr{C}) \geq \delta$。
• 对于 $R = \mathbb{Z}_8 + u\mathbb{Z}_8$，由 $g(x)$ 生成、根为 $\xi, \xi^2, \dots, \xi^6$ 的长度为 15 的自由循环码，其最小距离恰好为 7，构成一个 $(15, 64^5, 7)$ 码。
• 在 Lee 权保持映射 $\varphi$ 下，$\mathbb{Z}_4 + u\mathbb{Z}_4$ 上循环码的像为参数为 $(14, 4^{10}, 4)$ 的 $\mathbb{Z}_4$-线性码，其二进制 Gray 像为一个最优 $[28, 20, 4]$ 码。