[论文解读] On Cyclic Solutions to the Min-Max Latency Multi-Robot Patrolling Problem

Peyman Afshani, Mark de Berg+8 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Optimization and Search Problems被引用 2

一句话总结

本文针对度量空间中的最小-最大延迟多机器人巡逻问题，提出了近似算法，重点研究机器人以TSP巡游方式巡逻站点群组的循环解。研究证明，近似最优循环延迟问题可转化为仅带来(1+ε)近似因子损失和(O(k/ε))^k运行时间损失的TSP近似问题；且最优循环解是全局最优解的2(1−1/k)-近似解——当k=2时为最优，且对k≥3的猜想亦为最优。

ABSTRACT

We consider the following surveillance problem: Given a set $P$ of $n$ sites in a metric space and a set of $k$ robots with the same maximum speed, compute a patrol schedule of minimum latency for the robots. Here a patrol schedule specifies for each robot an infinite sequence of sites to visit (in the given order) and the latency $L$ of a schedule is the maximum latency of any site, where the latency of a site $s$ is the supremum of the lengths of the time intervals between consecutive visits to $s$. When $k=1$ the problem is equivalent to the travelling salesman problem (TSP) and thus it is NP-hard. We have two main results. We consider cyclic solutions in which the set of sites must be partitioned into $\ell$ groups, for some~$\ell \leq k$, and each group is assigned a subset of the robots that move along the travelling salesman tour of the group at equal distance from each other. Our first main result is that approximating the optimal latency of the class of cyclic solutions can be reduced to approximating the optimal travelling salesman tour on some input, with only a $1+\varepsilon$ factor loss in the approximation factor and an $O\left(\left( k/\varepsilon ight)^k ight)$ factor loss in the runtime, for any $\varepsilon >0$. Our second main result shows that an optimal cyclic solution is a $2(1-1/k)$-approximation of the overall optimal solution. Note that for $k=2$ this implies that an optimal cyclic solution is optimal overall. The results have a number of consequences. For the Euclidean version of the problem, for instance, combining our results with known results on Euclidean TSP, yields a PTAS for approximating an optimal cyclic solution, and it yields a $(2(1-1/k)+\varepsilon)$-approximation of the optimal unrestricted solution. If the conjecture mentioned above is true, then our algorithm is actually a PTAS for the general problem in the Euclidean setting.

研究动机与目标

• 解决在n个站点上使用k台速度相同的机器人进行巡逻时，最小化最大延迟的计算挑战。
• 分析最优解的结构，特别关注机器人分组并分配至站点簇TSP巡游的循环解。
• 为循环解提供近似保证，并将其与全局最优解关联。
• 若循环最优性猜想成立，则证明欧氏情况下的决策问题是可判定的。
• 在相同猜想下，为欧氏情况开发多项式时间近似方案（PTAS）。

提出的方法

• 将最优循环延迟近似问题转化为对站点簇的TSP近似问题，控制近似因子和运行时间的损失。
• 利用站点的最小生成树（MST），基于边长超过εL*/k的边，识别站点划分为ℓ≤k组的候选划分。
• 对每个候选划分，为每组计算γ-近似TSP巡游，并分配机器人以最小化最大巡逻周期时间。
• 应用贪心机器人分配策略：依次将机器人分配给当前tsp(Pi)/ki比值最高的组，以最小化最大延迟。
• 通过从MST中选择最重的k(1 + k/ε)条边的子集，将候选划分数量限制为(O(k/ε))^k。
• 结合已知的TSP近似算法（如(3/2)-近似或欧氏空间中的PTAS），推导出整体近似保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种循环解，始终为最小-最大延迟多机器人巡逻问题的最优解？
• RQ2 能否将最优循环解的近似问题转化为TSP近似问题，且近似因子和运行时间损失均受控？
• RQ3 最优循环解相对于全局最优解的近似比是多少？
• RQ4 若循环解为全局最优的猜想成立，是否意味着欧氏多机器人巡逻问题存在PTAS？
• RQ5 最小-最大延迟问题的决策版本在欧氏度量空间中是否可判定？

主要发现

• 对最优循环延迟的近似可转化为仅带来(1+ε)近似因子损失和(O(k/ε))^k运行时间损失的TSP近似，对任意ε>0均成立。
• 最优循环解是全局最优解的2(1−1/k)-近似解，且当k=2时该界为紧致，此时解为最优。
• 当k=2时，最优循环解即为全局最优解，意味着该问题在k=2时可在多项式时间内求解。
• 在欧氏设置下，结合已知的欧氏TSP PTAS，可得到(2(1−1/k)+ε)-近似解，若循环最优性猜想成立，则可实现PTAS。
• 所考虑的候选划分数量被限制为(O(k/ε))^k，使该方法对小k和固定ε具有可行性。
• 该方法在任意度量空间中可实现(3(1−1/k)+ε)-近似，在固定d的Rd中可实现(2(1−1/k)+ε)-近似，基于已知的TSP近似算法。