[论文解读] On D-modules related to the b-function and Hamiltonian flow

Thomas Bitoun, Travis Schedler|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 5

一句话总结

本文计算了具有孤立奇点的准齐次多项式 $f$ 的 $\pi$-模 $\pi f^{\lambda}/\pi f^{\lambda+1}$ 的长度，证明其等于 $1 + \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$，其中 $Y$ 是解析解的例外纤维。该结果将 $b$-函数的根与这些模的非零性联系起来，并在准齐次情形下证实了一个猜想，方法基于霍奇理论与哈密顿流不变量。

ABSTRACT

Let f be a quasi-homogeneous polynomial with an isolated singularity. We compute the length of the D-modules $Df^c/Df^{c+1}$ generated by complex powers of f in terms of the Hodge filtration on the top cohomology of the Milnor fiber. For 1/f we obtain one more than the reduced genus of the singularity. We conjecture that this holds without the quasi-homogeneous assumption. We also deduce that the aforementioned quotient is nonzero when c is a root of the b-function of f (which Saito recently showed fails to hold in the inhomogeneous case). We obtain these results by comparing these D-modules to those defined by Etingof and the second author which represent invariants under Hamiltonian flow.

研究动机与目标

• 计算具有孤立奇点的准齐次多项式 $f$ 的 $\mathcal{D}$-模 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 的长度。
• 将该长度与米尔诺纤维上顶上同调的霍奇滤子联系起来。
• 证明当 $\lambda$ 是 $b$-函数的根时，有 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$，推广了佐藤的结果。
• 建立一个猜想：在 $H^1_f(R)$ 中由 $1/f$ 生成的 $\mathcal{D}$-子模的长度为 $1 + g_x$，其中 $g_x$ 是奇点的约化亏格。
• 通过艾廷戈夫-谢德勒构造，将这些 $\mathcal{D}$-模与哈密顿流下的不变量联系起来。

提出的方法

• 利用米尔诺纤维上同调的霍奇滤子，计算 $\mathcal{D}f^{-1}/R \subset H^1_f(R)$ 的长度。
• 应用 Verdier 对偶与局部对偶，将 $H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})$ 与米尔诺纤维的上同调联系起来。
• 将 $\mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1}$ 的 $\mathcal{D}$-模与艾廷戈夫和谢德勒定义的哈密顿流不变量模进行比较。
• 使用邻近上同调函子 $\Psi_f(\mathcal{O}_U)$ 及其单值性作用，分析相关列的结构。
• 利用米尔诺纤维上单值性的半单性，证明 $\ker p \cong \delta^{\dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})}$，其中 $p$ 是一个投影映射。
• 应用 Bernstein-Sato 理论与 $b$-函数的结构，推导出 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$ 当且仅当 $\lambda$ 是 $b$-函数的根。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有孤立奇点的准齐次多项式 $f$，$H^1_f(R)$ 中由 $1/f$ 生成的 $\mathcal{D}$-子模的长度是多少？
• RQ2 该长度如何与 $f$ 的米尔诺纤维上的霍奇结构相关？
• RQ3 在准齐次情形下，$\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1} \neq 0$ 当且仅当 $\lambda$ 是 $b$-函数的根是否成立？
• RQ4 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 的 $\mathcal{D}$-模能否被解释为哈密顿流下的不变量？
• RQ5 对于任意孤立奇点 $f$，猜想其长度为 $1 + g_x$ 是否成立，其中 $g_x = \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$？

主要发现

• 对于具有孤立奇点的准齐次多项式 $f$，$\mathcal{D}f^{-1}/R \subset H^1_f(R)$ 的长度为 $1 + \dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$。
• 该长度等于 $1 + g_0$，其中 $g_0$ 是奇点的约化亏格，定义为 $\dim H^{n-2}(Y, \mathcal{O}_Y)$，$Y$ 为解析解的例外纤维。
• 在准齐次情形下，商模 $\mathcal{D}f^{\lambda}/\mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 非零当且仅当 $\lambda$ 是 $b$-函数的根。
• 在 $s = -1$ 处，投影映射 $p: \mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1} \to \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 的核同构于 $\delta^{\dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})}$，其中 $X^\circ$ 是射影超曲面 $Y$ 的穿孔锥。
• 相关列 $\bigoplus_\lambda \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$ 的长度至少为 $1 + \mu$，且其长度恰好为 $1 + \mu + \dim H^{n-2}(X^\circ, \mathbb{C})$，其中 $\mu$ 为米尔诺数。
• 模 $\mathcal{D}[s]f^s / \mathcal{D}[s]f^{s+1}$ 具有一个典范滤子，其相关列同构于 $\bigoplus_\lambda \mathcal{D}f^\lambda / \mathcal{D}f^{\lambda+1}$，且在 $s = -1$ 处的 $s$-作用是半单的。