[论文解读] On decay and blow-up of solutions for a singular nonlocal viscoelastic problem with a nonlinear source term

Wenjun Liu, Yun Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文研究了一类带有非线性源项和阻尼的奇异非局部粘弹性方程，采用势阱理论、改进的凸性方法和扰动能量技术。对于稳定集中初始数据，建立了全局存在性与一般衰减；对于不稳定集中初始数据，无论初始能量符号如何，均证明了解在有限时间内爆破。该研究在更广泛条件下扩展了先前关于衰减与爆破的结果。

ABSTRACT

In this paper we consider a singular nonlocal viscoelastic problem with a nonlinear source term and a possible damping term. We proved that if the initial data enter into the stable set, the solution exists globally and decays to zero with a more general rate, and if the initial data enter into the unstable set, the solution with non-positive initial energy as well as positive initial energy blows up in finite time. These are achieved by using the potential well theory, the modified convexity method and the perturbed energy method.

研究动机与目标

• 分析带有非线性源项和可能阻尼的奇异非局部粘弹性方程解的长期行为。
• 确定解全局存在并衰减至零的条件，或在有限时间内爆破的条件。
• 通过同时考虑非正与正初始能量情形，扩展现有关于衰减与爆破结果的研究。
• 利用基于能量的方法，为稳定集中解建立一般衰减速率。
• 证明不稳定集中解的爆破结果，包括初始能量为正的情形。

提出的方法

• 应用势阱理论，根据能量和初始条件将初始数据划分为稳定集与不稳定集。
• 采用改进的凸性方法，推导控制能量演化的微分不等式。
• 使用扰动能量方法，构造一个能捕捉衰减与爆破动力学的泛函。
• 对松弛函数 $ g $ 施加一般条件，包括 $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $，其中 $ r \in (1, \frac{3}{2}) $，以允许一般衰减速率。
• 通过将能量泛函与涉及 $ u_t^2 $、$ |u|^p $ 和 $ (g \circ u_x) $ 的加权积分相结合，推导能量估计。
• 通过积分涉及 $ \xi(t) $ 的微分不等式，建立衰减与爆破结果，从而获得能量与解范数的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，奇异非局部粘弹性问题的解全局存在并衰减至零？
• RQ2 是什么决定了解在有限时间内爆破，特别是当初始能量为非正或正时？
• RQ3 松弛函数 $ g $ 如何影响解能量的衰减速率？
• RQ4 能否将爆破结果推广至具有正初始能量的初始数据，而不仅限于负初始能量？
• RQ5 在 $ g $ 的弱假设下，如 $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $，可实现何种一般衰减速率？

主要发现

• 对于稳定集中初始数据，若满足 $ g' \leq -\xi(t)g^r(t) $ 且 $ r \in (1, \frac{3}{2}) $，则解全局存在，并以由松弛函数 $ g $ 决定的一般速率衰减至零。
• 对于不稳定集中初始数据，无论初始能量为负或正，解均在有限时间内爆破。
• 论文建立了如下形式的一般衰减速率：$ E(t) \leq C(1 + \int_{t_0}^t \xi(s)ds)^{-(r-1)^{-1}} $，该形式包含多项式衰减与指数衰减作为特例。
• 推导出一个关键估计 $ F'(t) \leq -C_7 \xi(t) F^r(t) $，由此得出渐近衰减界 $ F(t) \leq C_8(1 + \int_{t_0}^t \xi(s)ds)^{-(r-1)^{-1}} $，其中 $ F(t) $ 为一个扰动能量泛函。
• 爆破结果被证明适用于非正与正初始能量，优于早期仅要求负初始能量的工作。
• 分析确认，非线性源项 $ |u|^{p-2}u $、阻尼项 $ au_t $ 与记忆项 $ \int_0^t g(t-s) \frac{1}{x}(x u_x(x,s))_x ds $ 之间的相互作用决定了解的长期行为。