[论文解读] On Decoding Using Codewords of the Dual Code

Martin Bossert|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2020

Error Correcting Code Techniques参考文献 11被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种用于块码（特别是循环码、BCH码、Reed-Muller码和Reed-Solomon码）的新颖解码方法，通过利用对偶码中的最小重量码字，结合校验多项式移位来计算可靠性度量。该方法可在超过最小距离一半的范围内实现硬判决与软判决解码，在Plotkin构造中实现3 dB的SNR增益，并能自然地与迭代解码及信息集解码结合，即使在缺乏信道可靠性信息的情况下亦可实现。

ABSTRACT

We present novel decoding schemes for hard and soft decision decoding of block codes using the minimal weight codewords of the dual code. The decoding schemes will be described for cyclic codes where polynomials can be used, however, the modification for non-cyclic codes is possible and straight forward. The hard decision decoding calculates syndrome polynomials which are the product of the received polynomial with dual codewords. Proper cyclic shifts of these syndrome polynomials are obtained and the non-zero positions are counted componentwise for these shifts. The values of this counting are a reliability measure and can be used for locating the error and also the non-error positions. This reliability measure is the basis for various variants of hard decision decoding algorithms. Decoding schemes with iterative error reduction are possible as well as information set decoding using the inherent reliability information of the measure even if there is no reliability information from the channel. Further, we will show how reliability information from the channel can be included in order to obtain soft decision decoding schemes. We derive the relation between bit flipping, believe propagation, and majority logic decoding to the novel schemes. As examples to illustrate the functioning we use BCH and Reed-Muller codes as examples for binary codes, and RS codes for non-binary codes. Besides the Plotkin construction we recall a known result that Reed-Muller codes punctured by one position are cyclic and thus, are equivalent to special cases of BCH codes. Simulation results for hard and soft decision decoding will be given for several examples and compared with results from literature. Finally, we analyze the soft decision decoding of the Plotkin construction and derive that one of the two codes uses a $3$ dB better channel (also known as channel polarization).

研究动机与目标

• 开发一种新的块码解码框架，利用对偶码的最小重量码字来增强可靠性估计。
• 通过校验多项式分析与循环移位，实现超过标准一半最小距离限制的硬判决解码。
• 通过引入信道可靠性信息，将该方法扩展至软判决解码，从而在性能上优于传统方案。
• 在循环码（包括等价于BCH码的打孔Reed-Muller码）上验证该方法的有效性。
• 分析Plotkin构造中的性能增益，表明其中一个分量码在3 dB更优的信道条件下运行。

提出的方法

• 通过将接收多项式与最小重量对偶码字相乘，计算校验多项式。
• 对这些校验多项式应用适当的循环移位，并逐分量统计非零位置，以推导出可靠性度量。
• 利用所得的可靠性度量进行错误定位，并在硬判决解码中实施迭代错误消除。
• 将信道可靠性信息整合进解码过程，以实现性能更优的软判决解码。
• 在Plotkin构造中应用该方法，按顺序解码分量码，利用解码过程中信号功率加倍实现3 dB SNR增益。
• 利用BPSK调制的Plotkin构造来建模信道行为，并推导出分量码的有效SNR增益。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用最小重量对偶码字构造一种可靠的解码度量，以实现超过一半最小距离的解码？
• RQ2 所提出的可靠性度量与传统方法（如比特翻转、置信传播和多数逻辑解码）相比表现如何？
• RQ3 当该方法应用于BCH码和打孔Reed-Muller码等循环码时，其性能增益如何？
• RQ4 与广义最小距离（GMD）、Chase和Dorsch解码相比，该方法在软判决解码中的纠错性能如何？
• RQ5 Plotkin构造中的有效SNR提升是多少？该增益在分量码之间如何分布？

主要发现

• 所提出的解码方法在BCH(63,24,15)和RM(3,7)码上实现了超过最小距离一半的解码，显著优于标准的有界距离解码。
• 从对偶码字校验多项式移位中导出的可靠性度量，即使在缺乏外部信道可靠性信息的情况下，也能有效支持信息集解码。
• 在Plotkin构造中，由于解码过程中信号功率加倍，一个分量码在SNR比平均码率条件好3 dB的信道下运行。
• 仿真结果证实，该方法在硬判决与软判决解码中均表现出改进的比特误码率（BER）性能，尤其在与迭代解码结合时效果更显著。
• 该方法适用于非二元码（如Reed-Solomon码），可在同一框架下成功解码错误位置与数值。
• 该方法与现有解码策略（如Dorsch的有序统计解码和广义最小距离解码）具有很强的兼容性，通过列表解码有望实现进一步增益。