[论文解读] On decomposable random graphs

Mohamad Elmasri|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2017

Complex Network Analysis Techniques参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新型框架，通过树依赖的二分图对可分解随机图进行建模，通过在潜在树结构下强制节点的条件独立性，简化了马尔可夫链蒙特卡洛更新。该方法实现了高效采样与精确似然因子分解，同时保留了诸如联结树结构等关键特性，并可显式建模子聚类动力学。

ABSTRACT

Decomposable graphs are known for their tedious and complicated Markov update steps. Instead of modelling them directly, this work introduces a class of tree-dependent bipartite graphs that span the projective space of decomposable graphs. This is achieved through dimensionality expansion that causes the graph nodes to be conditionally independent given a latent tree. The Markov update steps are thus remarkably simplified. Structural modelling with tree-dependent bipartite graphs has additional benefits. For example, certain properties that are hardly attainable in the decomposable form are now easily accessible. Moreover, tree-dependent bipartite graphs can extract and model extra information related to sub-clustering dynamics, while currently known models for decomposable graphs do not. Properties of decomposable graphs are also transferable to the expanded dimension, such as the attractive likelihood factorization property. As a result of using the bipartite representation, tools developed for random graphs can be used. Hence, a framework for random tree-dependent bipartite graphs, thereupon for random decomposable graphs, is proposed.

研究动机与目标

• 为解决可分解图中马尔可夫链更新的计算复杂性问题，该问题受复杂条件依赖关系的阻碍。
• 通过在具有潜在树结构的高维二分空间中嵌入可分解图，简化其结构建模。
• 通过给定树结构下的条件独立性，解耦节点更新步骤，实现快速且可并行化的采样。
• 提供对最大团与联结树结构的显式访问，这些在高维设置下通常难以计算。
• 将随机图理论中的工具——特别是点过程表示——扩展至可分解图模型。

提出的方法

• 通过树依赖的二分表示对可分解图进行建模，其中节点在给定潜在树结构的条件下条件独立。
• 通过维度扩展，将邻接结构表示为节点与潜在社区之间的二值矩阵 Z*，其中边指示变量 s_ki 服从指数分布与截断指数分布。
• 定义给定树 T_G 时 (Z*, S) 的联合条件密度为涉及亲和参数 ϑ’_k 与 ϑ_i 的指数项乘积，并包含边存在的指示函数。
• 通过条件更新 Z* 给定 T，再更新 T 给定 Z*，实现迭代吉布斯采样，对亲和参数使用共轭先验（如伽马分布）。
• 利用卡伦伯格表示定理将图建模为连续点过程，将亲和函数 W 视为固定且具有已知分布。
• 对边指示变量 s_ki 使用截断指数分布，其参数化方式根据 z*_{ki} = 0 或 1 而有所不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可通过将可分解图嵌入更高维的二分空间，简化其马尔可夫链更新？
• RQ2 如何通过潜在树结构诱导节点间的条件独立性，以实现更新步骤的解耦？
• RQ3 该表示形式对似然因子化与模型推理效率有何影响？
• RQ4 在此框架中，是否能显式建模子聚类动力学与最大团结构？
• RQ5 现有随机图工具（如点过程表示）在多大程度上可被适配至可分解图模型？

主要发现

• 所提出的树依赖二分模型由于在给定潜在树的条件下节点条件独立，可实现节点的同步并行更新，显著降低计算复杂度。
• 给定树 T_G 时，(Z*, S) 的联合条件密度被显式因子化为涉及亲和参数与边指示变量的指数项乘积。
• 亲和参数 ϑ’_k 与 ϑ_i 的后验分布为共轭且可处理，其全条件分布与伽马形式成比例。
• 边指示变量 s_ki 通过截断指数分布进行更新，其参数化方式根据 Z* 中边是否存在而不同。
• 该框架实现了与原始可分解图特性相似的精确似然因子化，保留了基于团与分离集因子化的关键统计优势。
• 该模型可直接访问最大团集合与联结树结构，而这些在高维可分解图中通常难以计算或采样。