[论文解读] On Deductive Systems of AC Semantics for Rough Sets

A. Mani|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于反链语义的广义粗糙集的新型演绎系统框架，采用粒度算子空间中的结构。研究证明，三元演绎系统可通过格滤子与理想表征，关键结果表明在特定三元项条件下，主滤子与LD-滤子已足够；并证明在粒度原子性与清晰性假设下，伪补全具有可定义性。

ABSTRACT

Antichain based semantics for general rough sets were introduced recently by the present author. In her paper two different semantics, one for general rough sets and another for general approximation spaces over quasi-equivalence relations, were developed. These semantics are improved and studied further from a lateral algebraic logic perspective in this research. The main results concern the structure of the algebras and deductive systems in the context.

研究动机与目标

• 为广义粗糙集的反链语义中的演绎系统开发一种横向代数逻辑框架。
• 通过引入最小结构假设下的粒度算子空间，推广经典粗糙集语义。
• 通过三元项表征演绎系统，并确立滤子与理想在何种条件下足以实现对推理的封闭。
• 在 mereological 原子性与粒度绝对清晰性假设下，证明 AC-代数中伪补全的可定义性。
• 通过代数逻辑工具，将反链语义的适用性扩展至 RYS 及其他广义粗糙集系统。

提出的方法

• 使用粒度算子空间 ⟨S, G, l, u⟩，其中 S 为集合，G 为可接受的粒度，l 和 u 分别为单调的下近似与上近似算子。
• 在商集 S/≈ 上引入基本粗糙序 ⊌，通过下近似与上近似包含关系定义。
• 将粗糙对象定义为在粗糙等价 ≈ 下的最大大致一致集合，并研究其偏序集结构。
• 通过聚焦偏序集中最大大小的反链，应用基于反链的语义，证明其构成分配格。
• 构造三元项 τ，如 t(a,b,z) = a∧b∧z 或 t(a,b,z) = (a∨□b)∧z，以建模在推理下的演绎封闭性。
• 使用 σ-运算（例如 σ∨(x) = a∨x）将元素映射至主滤子/理想，将基于项的系统与格论结构联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过基于反链的语义系统地形式化广义粗糙集中的演绎系统？
• RQ2 在何种条件下，滤子或理想可作为三元演绎系统足够封闭的条件？
• RQ3 在何种粒度条件下，AC-代数中的伪补全可定义？
• RQ4 三元项如 t(a,b,z) = a∧b∧z 或 t(a,b,z) = (a∨□b)∧z 如何诱导出在推理下封闭的演绎系统？
• RQ5 反链格 ACₘ(X) 的代数结构能否通过适当的偏序集构造表示所有有限分配格？

主要发现

• 在任意偏序集 X 中，最大反链的偏序集 ACₘ(X) 构成一个分配格，确立了基础代数结构。
• 对每个有限分配格 L 及其 join-不可约元的链分解，存在一个偏序集 X_C，使得 L ≅ ACₘ(X_C)，证明了可表示性。
• 映射 σ∨(x) = a∨x 的像为由 a 生成的主滤子，而 σ∧(x) = a∧x 生成主理想，将算子与格滤子联系起来。
• 若 H 是在 z 处的三元 τ-演绎系统，τ = {t(a,b,z) = a∧b∧z}，则 H 为滤子，且在项运算下保持封闭。
• 对于 τ = {t(a,b,z) = (a∨□b)∧z}，H 为由 z 生成的主 LD-滤子，且在项运算下封闭意味着当 a 与 t(a,b,z) 属于 H 时，必有 b ∈ H。
• 在 mereological 原子性与粒度绝对清晰性条件下，AC-代数中的伪补全可定义，从而确保一致的代数补运算。