[论文解读] On definitions of polynomials over function fields of positive characteristi

Alexandra Shlapentokh|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 3

一句话总结

该论文建立了正特征函数域上多项式环与S-整数环的一阶可定义性结果。证明了在𝔽_p(t)的有限扩张K上，𝐺_𝑝[𝑡]可通过仅含一个全称变量的∀∃-公式定义，并在特定条件下，为不同𝑝与𝐾提供了𝐺_𝑝[𝑡]及𝑆-整数的统一∀∀∃…∃-定义，推动了正特征函数域的模型理论研究。

ABSTRACT

We consider the problem of defining polynomials over function fields of positive characteristic. Among other results, we show that the following assertions are true. 1. Let $\G_p$ be an algebraic extension of a field of $p$ elements and assume $\G_p$ is not algebraically closed. Let $t$ be transcendental over $\G_p$, and let $K$ be a finite extension of $\G_p(t)$. In this case $\G_p[t]$ has a definition (with parameters) over $K$ of the form $\forall \exists \ldots \exists P$ with only one variable in the range of the universal quantifier and $P$ being a polynomial over $K$. 2. For any $q$, for all $p ot=q$ and all function fields $K$ as above with $\G_p$ having an extension of degree $q$ and a primitive $q$-th root of unity, there is a uniform in $p$ and $K$ definition (with parameters) of $\G_p[t]$, of the form $\exists \ldots \exists \forall \forall \exists \ldots \exists P$ with only two variables in the range of universal quantifiers and $P$ being a finite collection of disjunction and conjunction of polynomial equations over $\Z/p$. Further, for any finite collection $\calS_K$ of primes of $K$ of fixed size $m$, there is a uniform in $K$ and $p$ definition of the ring of $\calS_K$-integers of the form $\forall\forall\exists \ldots \exists P$ with the range of universal quantifiers and $P$ as above. 3. Let $M$ be a function field of positive characteristic in one variable $t$ over an arbitrary constant field $H,$ and let $\G_p$ be the algebraic closure of a finite field in $H$. Assume $\G_p$ is not algebraically closed. In this case $\G_p[t]$ is first-order definable over $M$.

研究动机与目标

• 研究正特征函数域上多项式环与𝑆-整数环的一阶可定义性。
• 将希尔伯特第十问题及J.罗宾逊在数域上的结果类比推广至正特征函数域。
• 减少可定义性构造中全称量词的数量，受数域情形进展的启发。
• 在特定代数条件下，建立𝑝与𝐾参数变化下的统一可定义性结果。
• 分析雷梅利公式在函数域中积分闭包的量化复杂度。

提出的方法

• 使用正特征函数域上的代数几何与赋值理论。
• 应用范数方程与𝑝次幂弗罗贝尼乌斯构造，通过多项式条件定义子环。
• 利用𝔽_p(t)的有限扩张结构，其中𝐺_𝑝是𝔽_p的非闭代数扩张。
• 通过𝔽_p上的多项式方程组与量词交替模式构造可定义性。
• 分析雷梅利的积分闭包公式，并估算其前束范式中全称量词的数量。
• 利用𝑝次单位根的存在性及𝑞次扩张构造统一可定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，多项式环𝐺_𝑝[𝑡]能否在𝔽_p(t)的有限扩张𝐾上被定义？
• RQ2 当满足某些域论条件（如存在𝑞次单位根）时，𝐺_𝑝[𝑡]是否可在不同𝑝与𝐾之间实现统一的∀∀∃…∃-定义？
• RQ3 能否在正特征函数域上对有界𝑆的𝑆-整数环实现统一定义？
• RQ4 使用雷梅利方法定义函数域中积分闭包时，所需的最少全称量词数量是多少？
• RQ5 正特征下是否存在无限𝑝进离散的丢番图集，使其可定义性较数域更简单？

主要发现

• 对任意𝔽_p(t)的有限扩张𝐾，其中𝐺_𝑝是𝔽_p的非代数闭代数扩张，环𝐺_𝑝[𝑡]在𝐾上有仅含一个全称变量的∀∃-定义。
• 当𝑞≠𝑝且𝐺_𝑝存在含𝑝次单位根的𝑞次扩张时，存在统一的∀∀∃…∃-定义，且仅需两个全称变量。
• 对任意固定大小𝑚，𝑆_𝐾-整数环在𝐾与𝑝上具有统一的∀∀∃…∃-定义，含两个全称变量及𝔽_p上的多项式方程。
• 全局函数域中的整数环𝑂_𝑥可通过涉及范数方程与赋值条件的公式定义，雷梅利构造中量化复杂度至少需16个全称变量。
• 可定义子环的构造依赖于无限𝑝进离散丢番图集的存在性，此类集合在正特征下可能成立，但在数域下受马祖尔猜想限制不可能存在。
• 本文表明，若𝐻为常域且𝐺_𝑝是𝐻中有限域的代数闭包但非代数闭，则𝐺_𝑝[𝑡]在𝐻上的一元函数域𝑀中是一阶可定义的。