[论文解读] On deformation spaces of quadratic rational maps

Tanya Firsova, Jeremy Kahn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文研究了二次有理映射的形变空间的拓扑结构，重点关注自同构及其导致这些空间非收缩的条件。研究结果表明，对于 $\mathrm{Per}'_n$ 家族中满足 $n \geq 4$ 的映射，其形变空间是非收缩的，从而解决了 A. Epstein 提出的关于此类空间收缩性的问题。

ABSTRACT

We study the group of self-equivalences of a partially postcritically finite branched cover and answer a question of Adam Epstein about contractibility of certain deformation spaces of rational maps.

研究动机与目标

• 研究复动力系统中部分后临界有限分支覆盖相关形变空间的拓扑性质。
• 定义并分析此类形变空间的自同构群，推广映射类群中中心化子的概念。
• 通过算术相等化多重曲线，刻画形变空间在扩充 Teichmüller 空间中子空间上的聚集行为。
• 通过构造显式的非收缩例子，解决 A. Epstein 提出的关于形变空间是否收缩的问题。
• 对 $\mathrm{Per}'_4$ 情况下的相等化与算术相等化多重曲线进行完整分类，为后续分析奠定基础。

提出的方法

• 作者通过分支覆盖在 Teichmüller 空间上诱导的拉回映射来定义形变空间，推广了 Thurston 对后临界有限映射的方法。
• 他们引入了相等化与算术相等化多重曲线的概念，作为受阻情形下 Thurston 不变多重曲线的类比。
• 利用 Thurston 矩阵与遗忘矩阵的形式化方法，分析映射在曲线同伦类上的作用，以检测算术相等化行为。
• 论文建立了一个判别准则：$f^*\mathcal{S}_\Gamma = i_*\mathcal{S}_\Gamma$ 当且仅当 $\Gamma$ 是相等化多重曲线。
• 证明了若一个形变空间在扩充 Teichmüller 空间的子空间 $\mathcal{S}_\Gamma$ 上聚集，则存在 $\tilde{\Gamma} \subset \Gamma$ 是算术相等化的。
• 作者在 $\mathrm{Per}'_n$ 家族中（$n \geq 4$）构造了显式例子，利用曲线动力学与矩阵分析证明了非收缩性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，二次有理映射的形变空间是非收缩的？
• RQ2 算术相等化多重曲线与形变空间在扩充 Teichmüller 空间子空间上的聚集行为有何关系？
• RQ3 自同构在形变空间中起什么作用？它们与算术相等化多重曲线有何关联？
• RQ4 后临界有限有理映射的形变空间是否可能非收缩？如果是，在何种动力条件下会发生？
• RQ5 在 $\mathrm{Per}'_4$ 形变空间中，相等化与算术相等化多重曲线的完整分类是什么？

主要发现

• 对于某些 $f \in \mathrm{Per}'_n$（$n \geq 4$），形变空间 $\mathrm{Def}(f,A,B)$ 是非收缩的，从而对 A. Epstein 关于收缩性的问题给出了否定回答。
• 形变空间在扩充 Teichmüller 空间的子空间 $\mathcal{S}_\Gamma$ 上聚集，当且仅当存在子多重曲线 $\tilde{\Gamma} \subset \Gamma$ 是算术相等化的。
• 每个算术相等化多重曲线都诱导出形变空间的一个非平凡自同构，推广了中心化子的概念。
• 在情形 (10) 和 (11) 中，多重曲线 $\gamma$ 和 $\delta$ 是算术相等化的，分别对应于穿孔点 1 和 0 的像，Thurston 矩阵为 $T = (1,0)$，遗忘矩阵为 $A = (0,1)$。
• 在情形 (12a) 中，多重曲线 $(\gamma,\delta)$ 是相等化的但不是算术相等化的，因为 $f^*([\delta]) = [\gamma_2]$ 且 $i_*([\delta]) = [\gamma_2]$，其中 $T = (1,1)$，$A = (0,1)$。
• 在情形 (13) 中，$\gamma$ 是算术相等化的，而 $\delta$ 不是，其 $T = (1,1/2)$，$A = (1,1)$，表明即使整个多重曲线不是算术相等化的，仍可能存在算术相等化曲线。