[论文解读] On deformations of free groups in compact Lie groups

Tsachik Gelander|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2006

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文证明了几何群论与李群动力系统中两个长期存在的猜想：Margulis 与 Soifer 关于自由群在紧李群中非几乎自由形变的稠密性猜想，以及 Goldman 关于当 n ≥ 3 时 Out(Fₙ) 在 Hom(Fₙ, G)/G 上作用的遍历性猜想。通过使用 Nielsen 变换和伴随表示的性质，作者证明了任意紧李群中的 n 元组均可被微小扰动以生成任意给定的稠密 (n−1) 生成子群，从而确立了非几乎自由像的普遍性以及外自同构群作用的遍历性。

ABSTRACT

We study some properties of the varieties of deformations of free groups in compact Lie groups. In particular we prove a conjecture of Margulis and Soifer about the density of non-virtually free points in such variety, and a conjecture of Goldman on the ergodicity of the action of Aut(Fn) on such variety when n>2.

研究动机与目标

• 解决 Margulis 与 Soifer 提出的猜想：在紧李群中，生成自由群的 n 元组空间里，非几乎自由形变是稠密的。
• 证明 Goldman 关于当 n ≥ 3 时，Out(Fₙ) 在 Hom(Fₙ, G)/G 上作用的遍历性猜想，其中 G 是紧李群。
• 确立在满足子群极小生成集的弱条件下，任意 n 元组在连通紧李群中可被任意微小扰动以生成任意给定的稠密 (n−1) 生成子群。
• 通过证明任意对在紧非交换李群中可被扰动以生成具有 Serre 性质 (FA) 的群，从而将结果推广至 n = 2 的情形，这意味着该群不是几乎自由的。

提出的方法

• 利用 Nielsen 变换将 Gⁿ 中的 n 元组扰动至 Gⁿ 的任意开子集，从而实现对生成群的控制。
• 应用 Zarski 拓扑与 Burnside 引理，证明通过伴随表示生成整个李代数的元素集合是 Zarski 开且稠密的。
• 研究共轭类上的乘积映射 C(a) × C(b) → G，并在 a 与 b 的中心化子交于平凡子群的条件下，利用 Kiling 型与伴随表示的性质证明其微分是满射。
• 利用隐函数定理，当 a 与 b 为正则元素且处于一般位置时，推导出乘积映射在 (a,b) 附近是开映射，从而保证共轭类上乘积映射的局部满射性。
• 利用紧李群中扭元的稠密性，构造共轭类内的扰动，保持稠密性的同时确保乘积为扭元。
• 利用半单李群作为单因子的几乎直积的结构，分析其在每个因子上的投影，从而推导出生成子群的稠密性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在连通紧非交换李群中，任意 n 元组是否可被扰动以生成非几乎自由群，如 Margulis 与 Soifer 所猜想？
• RQ2 当 n ≥ 3 时，Out(Fₙ) 在 Hom(Fₙ, G)/G 上的作用是否是遍历的，如 Goldman 所猜想？
• RQ3 当 n ≥ 3 时，映射到 G 的 Fₙ 同态集合中，其像为固定稠密 (n−1) 生成子群 Γ 的同态集合是否在 Hom(Fₙ, G) 中稠密？
• RQ4 在紧李群中，任意一对元素是否可被扰动以生成具有 Serre 性质 (FA) 的群，从而意味着其不是几乎自由的？
• RQ5 在伴随表示下，哪些条件下，能生成整个李代数的元素集合成为 Zarski 开且稠密的？

主要发现

• 对任意稠密 (n−1) 生成子群 Γ ≤ G 与 n ≥ 3，Hom(Fₙ, G) 中满足 f(Fₙ) = Γ 的同态 f 的集合在 Hom(Fₙ, G) 中是稠密的。
• 当 n ≥ 3 时，只要 Γ 是 (n−1) 生成的，任意紧连通李群中的 n 元组均可被任意微小扰动以生成固定的稠密 (n−1) 生成子群 Γ。
• 当 n ≥ 3 时，Out(Fₙ) 在 Hom(Fₙ, G)/G 上的作用是遍历的，从而证实了 Goldman 的猜想。
• 当 n = 2 时，任意紧非交换李群中的对均可被扰动以生成具有 Serre 性质 (FA) 的群，这意味着该群不是几乎自由的。
• 当 a 与 b 为正则元素且其中心化子交于平凡子群时，乘积映射 C(a) × C(b) → G 在 (a,b) 附近是开映射，从而保证了共轭类上乘积映射的局部满射性。
• 当 n ≥ 3 时，Gⁿ 中生成稠密子群的 n 元组集合是开且稠密的；当 G 为单群时，该结论对成对元素也成立。