[论文解读] On deformations of Q-factorial symplectic varieties

Yoshinori Namikawa|ArXiv.org|Jun 27, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 11

一句话总结

本文证明，任何具有终端奇点的Q-因子数投影辛流形的平坦形变都是局部平凡的，且保持所有奇点不变；这表明此类流形无法通过形变实现光滑化，从而解决了辛奇点理论中的一个关键问题。该结果表明，光滑化等价于存在一个共形辛解析解，其在K3曲面上层的模空间中有应用。

ABSTRACT

We shall prove that any small deformation of a Q-factorial projective symplectic variety with terminal singularities is locally rigid; in other words, it preserves the singularity. In particular, many singular symplectic moduli of semi-stable sheaves on K3 have no smoothings via deformations. As an application of the result, we also prove that the smootheness is preserved under a flop in our symplectic case. We conjecture that a projective symplectic variety has a smoothing by a flat deformation if and only if it has a crepant (symplectic) resolution. This conjecture would be true if the minimal model conjecture were true.

研究动机与目标

• 解决Namikawa（2003）提出的问题：是否所有可光滑化的Q-因子数辛流形都必须是非奇异的。
• 建立具有终端奇点的Q-因子数投影辛流形的形变的局部刚性。
• 阐明通过形变实现光滑化与存在共形辛解析解之间的关系。
• 证明在Q-因子数终端化背景下，翻转（flop）过程中光滑性得以保持。
• 为理解具有奇点的辛流形的形变空间提供霍奇理论基础。

提出的方法

• 使用辛流形的定义：一个正规紧致凯勒空间，其正则部分具有非退化的全纯2-形式，且该形式可延拓至任意解析解中。
• 应用Q-因子数性：每个韦尔除子都是Q-卡特尔除子，等价于例外除子的上同调类在上推导上同调中的像生成了像空间。
• 运用混合霍奇理论和局部上同调序列，比较正则部分及其在解析解下的提升的霍奇结构。
• 利用在奇点余维数≥4时，正则部分与解析解之间霍奇结构的自然映射为同构的事实。
• 应用[Na1]和[K]中关于形变空间与库兰希族的结果，并将其调整至Q-因子数终端化的情形。
• 利用该流形与其终端化之间的库兰希空间映射的有限性，推导出刚性。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有终端奇点的Q-因子数投影辛流形能否通过平坦形变实现光滑化？
• RQ2 通过形变实现光滑化是否等价于存在非奇异的共形辛解析解？
• RQ3 若一个Q-因子数终端化是光滑的，那么在翻转下所有其他终端化是否也都是光滑的？
• RQ4 此类辛流形的形变空间是否具有局部刚性？
• RQ5 正则部分上的霍奇结构与解析解上的霍奇结构有何关系？

主要发现

• 任何具有终端奇点的Q-因子数投影辛流形的平坦形变都是局部平凡的，且保持所有奇点不变。
• 此类流形无法通过平坦形变实现光滑化，即在形变理论意义上不可光滑化。
• 通过形变实现光滑化等价于存在一个非奇异的共形辛解析解。
• 若一个Q-因子数终端化是光滑的，则所有其他终端化在翻转下也均为光滑的。
• 该辛流形的库兰希空间是光滑的，且其维数与任一Q-因子数终端化的库兰希空间维数相同。
• 该流形与其终端化之间的库兰希空间的自然映射是一个有限覆盖。