[论文解读] On degeneration of tensors and algebras

Markus Bläser, Vladimir Lysikov|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2016

Tensor decomposition and applications参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文建立了结合代数退化与其结构张量之间的联系，表明最小边界秩的张量对应于可光滑化的交换代数的乘法张量。证明了Coppersmith-Winograd '简单构造'张量的边界秩下界，表明其 $n$ 重张量幂的边界秩至少为 $(q+1)^n + 2^n - 1$，该下界仍不足以排除渐近矩阵乘法指数为 2 的可能性。

ABSTRACT

An important building block in all current asymptotically fast algorithms for matrix multiplication are tensors with low border rank, that is, tensors whose border rank is equal or very close to their size. To find new asymptotically fast algorithms for matrix multiplication, it seems to be important to understand those tensors whose border rank is as small as possible, so called tensors of minimal border rank. We investigate the connection between degenerations of associative algebras and degenerations of their structure tensors in the sense of Strassen. It allows us to describe an open subset of $n imes n imes n$ tensors of minimal border rank in terms of smoothability of commutative algebras. We describe the smoothable algebra associated to the Coppersmith-Winograd tensor and prove a lower bound for the border rank of the tensor used in the "easy construction" of Coppersmith and Winograd.

研究动机与目标

• 理解具有最小边界秩的张量结构，这些张量在快速矩阵乘法算法中至关重要。
• 澄清在Strassen框架下，结合代数的退化与其结构张量的退化之间的关系。
• 通过可光滑化的交换代数，对 $n\times n\times n$ 张量中最小边界秩的一个开子集提供几何表征。
• 为Coppersmith-Winograd '简单构造'张量的张量幂建立一个非平凡的边界秩下界。

提出的方法

• 使用张量秩与边界秩中的退化概念，特别关注秩-1分解的极限。
• 应用代数几何技术，证明在两个方向上具有秩-$n$ 截面的最小边界秩张量源于可光滑化的交换代数。
• 引入一种极限形式的代换法以获得秩下界，该方法改编自Landsberg与Michałek的方法。
• 利用不变量 $m(T) = \min_{u \neq 0} \operatorname{rk}(Tu)$，通过推论4.3推导边界秩下界。
• 分析Coppersmith-Winograd代数 $A_{CW}$ 及其幂零元，以定义与简单张量等价的双线性映射。
• 通过归纳法与张量积性质，推导出 $m(T_{cw}^{\otimes n}) = 2^n$，从而得出最终的边界秩下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $n\times n\times n$ 的最小边界秩张量可以通过可光滑化的交换代数实现几何表征？
• RQ2 在Strassen框架下，结合代数的退化如何与它们的结构张量的退化相关联？
• RQ3 能否使用代数方法对Coppersmith-Winograd '简单构造'张量的边界秩建立下界？
• RQ4 Coppersmith-Winograd简单张量的 $n$ 重张量幂的边界秩是否以一种足以排除渐近矩阵乘法指数为 2 的方式增长？
• RQ5 在简单张量的双线性映射表示中，幂零元与投影 $\rho$ 的精确作用是什么？

主要发现

• 在两个方向上具有秩-$n$ 截面的最小边界秩张量，等价于可光滑化交换代数的结构张量。
• 本文证明Coppersmith-Winograd张量的'简单构造'等价于一个双线性映射 $\varphi_{cw} \in M^* \otimes M^* \otimes R$，其由 $A_{CW}$ 的幂零元上的投影 $\rho$ 定义。
• 为简单Coppersmith-Winograd张量的 $n$ 重张量幂建立了边界秩下界 $\underline{R}(T_{cw}^{\otimes n}) \geq (q+1)^n + 2^n - 1$。
• 该方法证明了 $m(T_{cw}^{\otimes n}) = 2^n$，这是通过推论4.3推导边界秩下界所必需的关键步骤。
• 该下界是非平凡的，但尚不足以排除：若 $T_{cw}^{\otimes n}$ 的边界秩以 $\sim (q+1)^n$ 的方式增长，则矩阵乘法的渐近指数仍可能为 2。
• 本文通过交换代数中的可光滑性，为最小边界秩张量的一个开子集提供了几何与代数表征。