[论文解读] On Degrees in the Hasse Diagram of the Strong Bruhat Order

Ron M. Adin, Yuval Roichman|ArXiv.org|May 2, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用 13

一句话总结

本文研究对称群 $S_n$ 上强Bruhat序的哈斯图中的度结构，重点关注下度（被给定排列覆盖的排列数）和总度（上度与下度之和）。利用图论中的图论极值方法，证明最大下度为 $fl n^2/4 ffi$，由特定排列实现，并推导出随机排列的期望下度与总度的精确公式，其渐近行为涉及调和数。

ABSTRACT

For a permutation $π$ in the symmetric group $S_n$ let the {\it total degree} be its valency in the Hasse diagram of the strong Bruhat order on $S_n$, and let the {\it down degree} be the number of permutations which are covered by $π$ in the strong Bruhat order. The maxima of the total degree and the down degree and their values at a random permutation are computed. Proofs involve variants of a classical theorem of Turán from extremal graph theory.

研究动机与目标

• 确定强Bruhat序在 $S_n$ 上任意排列的最大可能下度。
• 计算在强Bruhat序下，$S_n$ 中随机排列的期望下度与总度。
• 将下降集的概念推广至 $r$-阶强下降集，并分析其极值性质。
• 通过强下降图建立排列度统计与极值图论之间的联系。

提出的方法

• 将下度 $d_{-}(\tau)$ 定义为满足 $\ell(t_{a,b}\tau) = \ell(\tau) - 1$ 的对换 $t_{a,b}$ 的数量，类似地定义上度与总度。
• 引入强下降图 $\Gamma_{-}(\tau)$，其边对应于 $D_{-}(\tau)$ 中的对换，并证明其为无三角形图。
• 应用图论中的图论定理（特别是 $r=2$ 时的Mantel–Turán情形），对无三角形图的最大边数进行上界估计，从而得出最大下度。
• 利用概率方法与指示变量，通过期望的线性性，计算 $S_n$ 中均匀随机排列的期望总度与下度。
• 将上述方法推广至 $r$-阶强下降集 $D_{-}^{(r)}(\tau)$ 及其关联图 $\Gamma_{-}^{(r)}(\tau)$，证明其不含 $K_{r+2}$ 子图。
• 利用调和级数恒等式与双重求和恒等变形，推导出期望度的精确公式与渐近表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强Bruhat序的 $S_n$ 中，任意排列的最大可能下度是多少？
• RQ2 在强Bruhat序下，$S_n$ 中均匀随机排列的期望下度是多少？
• RQ3 在强Bruhat序下，$S_n$ 中随机排列的期望总度是多少？
• RQ4 $r$-阶强下降集如何推广经典下降集？其极值性质如何？
• RQ5 当 $n \to \infty$ 时，期望总度与下度的渐近行为如何？

主要发现

• 所有 $\pi \in S_n$ 中，最大下度为 $\lfloor n^2/4 \rfloor$，当且仅当其强下降图为部分大小尽可能相等的完全二分图时达到。
• 随机排列的期望下度为 $\sum_{i=2}^n \sum_{t=1}^{i-1} \sum_{r=1}^t \frac{1}{i \cdot r}$，可简化为 $n H_n - 2n + H_n$，其中 $H_n$ 为第 $n$ 个调和数。
• 随机排列的期望总度为 $n H_n - 2n + H_n$，由于强Bruhat序的对称性，其值与期望下度相同。
• 渐近地，期望下度与总度均以 $n \ln n - 2n + \ln n + O(1)$ 的形式增长，欧拉常数出现在误差项中。
• 对于 $r$-阶强下降集，其最大大小受图论中的图论数 $t_{r+1}(n)$ 上界限制，且当 $r=1$ 与 $r=n-1$ 时取等，分别对应经典下降集与逆序下降集情形。
• $r$-阶强下降图 $\Gamma_{-}^{(r)}(\pi)$ 为 $K_{r+2}$-自由图，推广了标准强下降图的无三角形性质。